Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
S = (AC · BD) / 2.
Доказательство.
Пусть АВСD — ромб, АС и BD — диагонали.
Тогда SABCD = SABC + SACD = (AC · BO) / 2 + (AC · DO) / 2 = AC(BO + DO) / 2 = (AC · BD) / 2.
Что и требовалось доказать.
Так же площадь ромба можно найти с помощью следующих формул:
S = a · H, где a — сторона, H — высота ромба.
S = a2 · sin α, где α — угол между сторонами, a — сторона ромба.
S = 4r2 / sin α, где r — радиус вписанной окружности, α — угол между сторонами.
1. Дано:
АО=ОВ
СО=ОД
Доказать: ∠ДАО=СВО
2.Дано;
АД-биссектриса ∠А,
∠АДВ=∠АДС
Доказать: АВ=АС
3. в третьей задаче надо нарисовать равнобедренный треугольник, из точек А и С раствором циркуля провести 2 дуги, соединить точки пересечения дуг прямой, к точке пересечения этой прямой и стороны треугольника проводим прямую из вершины В, ставим точку В1.
Рис. 391
По теореме Пифагора гипотенуза АС=10, так как
АС²=АВ²+ВС²=8²+6²=100
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту
AB·BC/2= AC·BD/2 ⇒ AB·BC= AC·BD ⇒ 8·6=10·BD ⇒ BD=4,8
Ответ 4,8
рис. 392
Из прямоугольного треугольника АВЕ:
АЕ=ВЕ=8·sin 45°=8·(√2/2)=4√2 (можно и по теореме Пифагора х²+х²=64)
Из прямоугольного треугольника BED:
ED=BE·tg 30°=4√2·(√3/3)=4√6/3
AD=AE+ED= 4√2+4√2·(√3/3)=4√2·(1+(√3/3))=4√2·(3+√3)/3
Ответ. AD=4√2·(3+√3)/3
рис. 393
В равностороннем треугольнике высота является и медианой и биссектрисой.
Из прямоугольного треугольника АВЕ по теореме Пифагора
ВЕ²=АВ²-АЕ²=4²-2²=16-4=12
ВЕ=2√3
О- точка пересечения медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины
BO=(2/3)·BE=(2/3)·2√3=4√3/3
АО=ВО=4√3/3
ОЕ=(1/3) ВЕ=2√3/3
Ответ. АО=4√3/3; ОЕ=2√3/3
Т.к. треугольник АВС прямоугольный, значит его гипотенуза равняется диаметру описанной около него окружности. Находим АВ(по Пифагору)=√АС²+ВС²=√900+325=√1225=35, Радиус равняется половине диаметра,⇒R=1/2*D=1/2*АВ=17,5.
