Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований.
(8-5)/2=1,5
Теорема Фалеса<span>Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне (см. рисунок)</span>Докажем, что:<span>OA/OA1=AB/AB1=BC/BC1=k</span><span>Для доказательства построим отрезки <span>AB2, BC2</span>, ..., параллельные стороне <span>OA1 </span>данного угла с вершиной O. Треугольники <span>OAA1, ABB2, BCC2</span>, ..., подобны в силу равенства соответственных углов при параллельных прямых <span>OA1, AB2, BC2, ...</span> и соответственных углов при параллельных прямых <span>AA1, BB1, CC1, ...</span> Отсюда следует:</span><span>OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=k</span><span>Поскольку <span>AB2=A1B1, BC2=B1C1, ...</span>, то сформулированное предложение доказано. В частности, если OA=AB =BC, то и <span>OA1=A1B1=B1C1.</span></span><span>Следовательно, если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла, то на ней отсекаются также равные отрезки (теорема Фалеса). </span>Обратная теорема Фалеса<span>Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки <span>OA1, A1B1, B1C1, ... (<span>OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=k</span>), </span>то прямые <span>AA1, BB1, CC1, ...</span> параллельны.</span>Действительно, на основе предыдущего свойства ряда равных отношений (см. рисунок):<span>OB/OB1=(OA + AB)/(OA1 + A1B1)= OA/OA1</span><span>Следовательно, треугольники <span>OAA1 </span>и <span>OBB1 </span>гомотетичны и поэтому <span>AA1||BB1</span>. Аналогично <span>AA1||CC1</span>.</span><span>В частности, <span>если OA = AB = BC и <span>OA1 = A1B1 = B1C1</span>, то прямые <span>AA1, BB1, CC</span><span>1 </span>параллельны.</span> (Обратная теорема Фалеса</span>
Рассмотрим 2 треугольника АОN и ВОN. Они оба прямоугольные - углы ОАN и ВОN - прямые между касательными и радиусом окружности. Треугольники равны, т.к. ОА=ОВ - радиусы одной окружности, ON - общая. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОА лежит угол АNО, а против стороны ОВ лежит угол ОNВ. Они равны, значит, ON - биссектриса угла АNВ. А если одни острые углы прямоугольного треугольника равны, то и другие равны. Значит, угол АОN равен углу ВОN. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла АОN лежит АN, а против угла ВОN лежит BN. Значит АN равно ВN. Что и требовалось доказать.
∠АОD=∠BOC - вертикальные углы. Так как AO=OC BO=OC, то треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними)
