4) Примем угол А=а, угол В=b
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒
<span>в ∆ АДС </span>∠<span>АCD=</span>∠CAD=а.
По условию СD=АD, а СD - медиана, и АD=ВD, ⇒ <em>СD=ВD</em>.
∆ ВDС равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠ВСD=∠СВD=b
Из найденного следует: угол С=а+b
Сумма углов треугольника 180°
Угол А+угол С+угол В=180° ⇒
а+b+a+b=180°
2a+2b=180°⇒
a+b=90° - угол С=а+b=90°
<span>(Полезно помнить:<em> Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный</em>). </span>
======
5) В ∆ АОС отрезок ОF перпендикулярен АС⇒<span> ОF – высота, а т.к. ∆ АОС равнобедренный (АО=ОС – дано), то ОF - медиана. ∆ АВF=∆ BCF– они прямоугольные с равными катетами: АF=FC (доказано), и ВF - общий, </span>⇒<span> АВ=ВС. </span>
<span> В равнобедренном ∆ АВС отрезок ВF- не только высота, но и медиана и биссектриса. Расстояние от точки до прямой - длина проведенного перпендикулярно к прямой отрезка. </span>
<span>Треугольники ВКО и ВМО прямоугольные с общей гипотенузой ВО и равным острым углом при В. Эти треугольники равны по углу и гипотенузе. Следовательно. ОМ=ОК=4. </span>
≈≈≈≈≈≈≈≈
6) Медиана AF делит ВС на равные отрезки. BF=CF⇒
<span>DF - медиана ∆ BDC и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы </span>
DF=ВС:2=5 (ед. длины)
======
8) <em>Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°</em>. ⇒
угол САВ=90°-34°=56°
<span>Медиана СМ делит ∆ АВС на равнобедренные: ∆ АМС с углами при АС, равными 56°, и ∆ ВМС с углами при ВС, равными 34°. </span>
Угол АСН=90°-56°=34°
∠<span>НСМ=</span>∠<span>АСМ -</span>∠<span>АСН. </span>
Угол <em>НСМ</em>=56°-34°=<em>22°</em>