Question

Найдите угол С треугольника АВС заданного координатами его вершин: А(1;1;0), В(2;-1;3), С(4;1;1).

Answer 1

Дано
$A(1;1;0) \\ B(2;-1;3) \\ C(4;1;1)$
***Решение***
Найдем длину сторон треугольника, по формуле длины вектора
$|AB|= \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2+(z_{B}-x_{A})^2}$
$|AB|= \sqrt{(2-1)^2+(-1-1)^2+(3-0)^2}= \sqrt{1+(-2)^2+3^2} =$
$= \sqrt{1+4+9}= \sqrt{14}$
$|BC|= \sqrt{(4-2)^2+(1-(-1))^2+(1-3)^2}= \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} =$
$=\sqrt{4+4+4} = \sqrt{12}$
$|AC|= \sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2+(1-0)^2}= \sqrt{3^2+0^2+1^2} =$
$= \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
По теореме косинусов
$c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos\alpha$
отсюда
$c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos\alpha\\ 2*a*b*cos\alpha=a^2+b^2-c^2\\ cos\alpha= \frac{a^2+b^2-c^2}{2*a*b}$
подставим
$cos\alpha= \frac{(\sqrt{12})^2+( \sqrt{10})^2-( \sqrt{14})^2} {2* \sqrt{12}* \sqrt{10}} = \frac{12+10-14}{2*\sqrt{12*10}} = \frac{8}{2* \sqrt{4*3*10}} =\frac{4}{2* \sqrt30} } =$$=\frac{2}{ \sqrt{30} }$
следовательно
$\alpha =arccos(\frac{2}{ \sqrt{30} })$