Question

1)Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу

в 60 градусов. Найдите S сечения

2)Найти объем конуса боковая поверхность которого представляет собой угловой сектор с углом 120 градусов и радиусом 12 см

Answer 1

1) Обозначим высоту конуса МО, сечение - МАВ.

 МО=АО=R 

Угол АОМ=60°, ⇒∆ АОВ равносторонний. 

АВ=R

MH - высота сечения. 

S(AMB)=AB•MH:2

МН⊥АВ, ⇒ из т. о 3-х перпендикулярах  ОН⊥АВ, ⇒ ОН - высота ∆ АОВ. 

OH=R•sin60°=R√3/2

Из ∆ МOН по т.Пифагора 

МН=√(OM²+OH²)MH=√{R²+3R²/4)=R√(7/4)

$S(AMB)=R*R \sqrt{ \frac{7}{4} }:2= R^{2}* \frac{ \sqrt{7}}{4}$

————

2) 

AA' -  дуги сектора 120°. Её длина – длина окружности основания конуса. 

Длина AA’  равна 1/3 длины окружности=2πR:3

AA’=24π/3=8π

В конусе

Формула объема конуса  V=S•h/3

S=πr*

r=AA'/2π – r=8π:2π=4

S=π4*=16π

Образующая конуса l=ОА=12

По т.Пифагора 

h=√(AA’*-r*)=√(144-16)=8√2

V=16π•8√2:3=:3=128√2•π/3