Question

Стороны AB и CD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса 4 см, параллельны и имеют равные длины, угол ADB=60 ГРАДУСОВ. А) Найдите AB Б) Определите, какие значения может принимать угол MBC? если M - точка окружности, равноудаленная от концов отрезка BC

Answer 1

ABCD - параллелограмм, вписанный в окружность 
(АВ=CD и АВ║CD - дано).
Следовательно, противоположные углы его в сумме равны 180°
(свойство вписанного четырехугольника).
Противоположные углы параллелограмма равны (свойство), следовательно ABCD - прямоугольник (180°:2=90°) и <BAD=90°.
BD - диаметр описанной окружности и BD=2*4=8см.
А) Треугольник  ABD - прямоугольный. <ABD=30° (сумма острых углов
прямоугольного треугольника равна 180°).
AD=4см (катет против угла 30°)
АВ=√(8²-4²)=4√3 см (по Пифагору).
Ответ: АВ=4√3 см.
Б) Точка М равноудалена от концов отрезка ВС (хорда) и лежит на
окружности, следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре  к этому отрезку, то есть на концах диаметра.
Итак, есть два варианта решения.
а) Вписанный угол <CBD=90°-60°=30°,  => дуга ВМС = 60°.
Дуга МС - половина дуги ВМС и равна 30°.
Следовательно, вписанный угол МВС, опирающийся на дугу МС,
равен 15°.
Ответ: <MBC =15°.
б) <M1BM = 90°, так как опирается на диаметр.
<M1BM=<M1BC+<MBC  => <M1BC = 90°-15° =75°.
Ответ: <M1BC =75°.