Question

Найдите наименьшее значение функции: 2)y=x^-2x+7; 3)y=x^-x-10 пожалуйста по могите решить,Алгебра 8 класса

Answer 1

$y=x^{-2x}+7 \\y'(x)=(x^{-2x}+7)=(e^{ln(x^{-2x})})'+(7)'=(e^{-2xln(x)})'+0= \\=e^{-2xln(x)}*((-2x)'ln(x)-2x(ln(x))')=x^{-2x}(-2ln(x)-\frac{2x}{x}) \\=x^{-2x}(-2ln(x)-2)=-2x^{-2x}(ln(x)+1)=-2x^{-2}ln(ex)= \\=\frac{-2ln(ex)}{x^{2x}} \\Kriticheskie\ tochki:\ \frac{-2ln(ex)}{x^{2x}}=0, x\ \textgreater \ 0 \\-2ln(ex)=0 \\ln(ex)=0 \\ex=e^0 \\ex=1 \\x=\frac{1}{e}\approx 0.37 \\f'(\frac{1}{4})=\frac{-2ln(\frac{e}{4})}{\frac{1}{\sqrt{4}}}}=-4(ln(e)-ln(4))=-4+4ln(4), \ ln(4)\ \textgreater \ 1, \\znachit\ \ 4ln(4)\ \textgreater \ 4,\ znachit\ \ 4ln(4)-4\ \textgreater \ 0$
$f'(1)=\frac{-2ln(e)}{1^{2}}=-2 \\Znachit\ x=\frac{1}{e}=x_{_{max}}$
ОТВЕТ: у данной функции нет минимального значения, она на промежутке $x\in (0;\frac{1}{e}]$ и бесконечно спадает на промежутке $x\in [\frac{1}{e}; +\infty)$

$y'(x)=(x^{-x}-10)'=(e^{-xln(x)})'=e^{-xln(x)}((-x)'ln(x)-x(ln(x))')= \\=x^{-x}(-ln(x)-1)=-\frac{1}{x^x}(ln(x)+1)=-\frac{ln(ex)}{x^x} \\Kriticheskie\ tochki: -\frac{ln(ex)}{x^x} =0,\ x\ \textgreater \ 0 \\ln(ex)=0 \\ex=e^0 \\x=\frac{1}{e}\approx 0.37 \\f'(\frac{1}{4})=-\frac{ln(\frac{e}{4})}{\frac{1}{\sqrt[4]{4}}}=-\sqrt[4]{4}(ln(e)-\sqrt[4]{4}ln(4))= -\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{4}ln(4)=\\=-\sqrt[4]{2^2}+\sqrt[4]{2^2}ln(4)=-2^{\frac{2}{4}}+2^{\frac{2}{4}}ln(4)=-\sqrt{2}+\sqrt2ln(4),\\ ln(4)\ \textgreater \ 1,\ znachit\ \ \sqrt{2}ln(4)\ \textgreater \ \sqrt{2}$
$Znahcit\ -\sqrt{2}+\sqrt{2}ln(4)\ \textgreater \ 0 \\f'(1)=-\frac{ln(e)}{1}=-1 \\Znachit:\ x=\frac{1}{e}=x_{_{max}}$
ОТВЕТ: у данной функции нет минимального значения, она возрастает на промежутке $x\in (0;\frac{1}{e}]$ и бесконечно спадает на промежутке $x\in [\frac{1}{e}; +\infty)$
ГРАФИКИ ДЛЯ НАГЛЯДНОСТИ НА КАРТИНКАХ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ОТВЕТУ