Question

Докажите что при любом целом n выражение:
а) (n+13)^2-n^2 делится на 13
б) (2n-5)^2-(2n+1)^2 делится на 24
в) (3n+1)^2-(n-1)^2 делится на 16
г) 2n^3-2n делится на 12
^-это степень

Answer 1

А) (n+13)²-n²=
=n²+2*13*n+13²-n²=
=2n*13+13*13=
=13(2n+13) делится на 13, потому что хотя бы один множитель делится на 13.
б) (2n-5)²-(2n+1)²=
=4n²-2*2n*5+5²-(4n²+2*2n*1+1²)=
=4n²-20n+25-4n²-4n-1=
=-24n+24=
=24(1-n) делится на 24, потому что один из множителей делится на 24.
в) (3n+1)²-(n-1)²=
=9n²+2*3n*1+1²-(n²-2*n*1+1²)=
=9n²+6n+1-n²+2n-1=
=8n²+8n=8n(n+1).
Рассмотрим два случая.
По условию n целое, пусть n=2k-1 нечетноe, тогда n+1=2k целое четное,
тогда 8n(n+1)=8(2k-1)*2k=16k(2k-1) делится на 16.
Пусть n=2k четное, соответственно n+1=2k+1 нечетное,
тогда 8n(n+1)=8*2k(2k+1)=16k(2k+1) делится на 16.
г) 2n³-2n=2n(n²-1)=2n(n-1)(n+1)
n-1, n, n+1 три целых последовательных числа, хотя бы одно из них является четным и кратно 2, а одно точно кратно 3, значит они содержат в себе простые множители 2 и 3, пусть n=2k, n-1=2k-1, n+1=2k+1=3t, а значит
2n(n-1)(n+1)=2*2k(2k-1)3t=12kt(2k-1) делится на 12.