Question

Помогите найти общее решение уравнения пожалуйста

Answer 1

Найти общее решение дифференциального уравнений
у' + 2y - y² = 0
Решение
у' + 2y - y² = 0
                у' = y² -2у
Разделим обе части уравнения на  у²-2у
$\frac{y'}{y^2-2y} =1$
Интегритуем обе части уравнения
$\int\limits{ \frac{y'}{y^2-2y} } \, dy = \int\limits{} \, dx$
Для нахождения интеграла в левой части уравнения разложим дробь на сумму дробей
$\frac{1}{y^2-2y}= \frac{1}{y(y-2)}= \frac{1}{2(y-2)}- \frac{1}{2y}$
Подставляем в интеграл
$\int\limits{ \frac{y'}{y^2-2y} } \, dy=\int\limits{(\frac{1}{2(y-2)}- \frac{1}{2y}) \, dy= \frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{y-2} \, dy-\frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{y} \, dy=$$\frac{1}{2}ln(y-2)- \frac{1}{2}ln(y)= \frac{1}{2}ln( \frac{y-2}{y} )= \frac{1}{2}ln(1- \frac{2}{y})$
Интеграл правой стороны уравнения равен
$\int\limits{} \, dx=x+\frac{1}{2}ln(C)$
Получили
$\frac{1}{2}ln(1- \frac{2}{y}) =x+\frac{1}{2}ln(C)$
$ln(1- \frac{2}{y}) =2x+ln(C)$
$1- \frac{2}{y} =e^{2x+ln(C)}$
$\frac{2}{y} =1-Ce^{2x}$
$y = \frac{2}{1-Ce^{2x}}$
Можно представить и вдругом виде если разделить числитель и знаменатель на С и заменить 1/С на С1
$y= \frac{2C_1}{C_1+e^{2x}}$