Question

Высота правильного треугольника равна 9 см. Найти площадь описанного около него круга

Answer 1

Рассмотрим правильный ΔABC

AH = AC/2 = AB/2 (в правильном треугольнике все стороны равны; высота правильного треугольника является его медианой, т. е. делит сторону треугольника на 2 равные части)

Рассмотрим ΔABH: AH = AB/2, BH = 9 см.

По теореме Пифагора

AB² = AH² + BH²

$\displaystyle\tt AB^2=\Big(\frac{AB}{2}\Big)^2+9^2\\\\\\AB^2=\frac{AB^2}{4}+81\\\\\\AB^2-\frac{AB^2}{4}=81\\\\\\\frac{4AB^2-AB^2}{4}=81\\\\\\\frac{3AB^2}{4}=81\\\\3AB^2=4\cdot81\\\\3AB^2=324\\\\\\AB^2=\frac{324}{3}=108\\\\AB=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3} =6\sqrt{3}~cm$

Воспользуемся формулой для стороны правильного треугольника

a₃ = R√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной около него окружности

Подставляем

6√3 = R√3

$\displaystyle\tt R=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6~cm$

Формула площади круга:

S = πR², где S - площадь круга, π - число Пи (≈ 3,14), R - радиус круга

Подставляем

S = π * 6² = 36π см²

Ответ: S = 36π см²