Question

Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения 5sin2x-sin6x+6=0

Answer 1

Делаем замену:
a=2x
получим:
$5sina-sin3a+6=0 \\5sina-(3sina-4sin^3a)+6=0 \\5sina-3sina+4sin^3a+6=0 \\4sin^3a+2sina+6=0$
еще одна замена:
$sina=y,\ y \in [-1;1]$
тогда:
$4y^3+2y+6=0 \\P(1)=4+2+6\neq 0 \\P(-1)=-4-2+6=0 \Rightarrow y_1=-1 \\(y+1)(4y^2+py+q)=4y^3+py^2+qy+4y^2+py+q=\\=4y^3+y^2(p+4)+y(q+p)+q \\4y^3+2y+6=4y^3+y^2(p+4)+y(q+p)+q \\ \left \{ {{p+4=0} \atop {q+p=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{p=-3} \atop {q=6}} \right. \\(y+1)(4y^2-3y+6)=0 \\4y^2-3y+6=0 \\D\ \textless \ 0$
обратная замена:
$sina=-1 \\sin2x=-1 \\2x=- \frac{\pi}{2} +2\pi ,\ n \in Z \\x=- \frac{\pi}{4} +\pi n,\ n \in Z$
ищем наименьший положительный корень:
$n=0; x=- \frac{\pi}{4}\ \textless \ 0 \\n=-1; x=- \frac{\pi}{4}-\pi\ \textless \ 0 \\n=1; x=- \frac{\pi}{4}+\pi= \frac{3\pi}{4}$
$\frac{3\pi}{4}= \frac{3*180}{4}=135^{\circ}$
Ответ: 135°