![\frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{6x^2+x-1}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B2x%5E3%2B1%7D%7B2x%2B1%7D+%2B+%5Cfrac%7B3x%5E2%7D%7B3x-1%7D+%3D+%5Cfrac%7B15x%5E3%7D%7B6x%5E2%2Bx-1%7D+)
разложим
![6x^2+x-1](https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E2%2Bx-1)
на множители:
![6x^2+x-1=0 \\D=1+24=25=5^2 \\x_1= \frac{-1+5}{12} = \frac{4}{12}= \frac{1}{3} \\x_2= \frac{-6}{12}=-0,5 \\ 6x^2+x-1=6(x-\frac{1}{3} )(x+0,5)=(3x-1)(2x+1)](https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E2%2Bx-1%3D0+%5C%5CD%3D1%2B24%3D25%3D5%5E2+%5C%5Cx_1%3D+%5Cfrac%7B-1%2B5%7D%7B12%7D+%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B12%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5C%5Cx_2%3D+%5Cfrac%7B-6%7D%7B12%7D%3D-0%2C5+%5C%5C+6x%5E2%2Bx-1%3D6%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%28x%2B0%2C5%29%3D%283x-1%29%282x%2B1%29)
теперь уравнение примет вид:
![\frac{2x^3+1}{2x+1} + \frac{3x^2}{3x-1} = \frac{15x^3}{(3x-1)(2x+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2x%5E3%2B1%7D%7B2x%2B1%7D+%2B+%5Cfrac%7B3x%5E2%7D%7B3x-1%7D+%3D+%5Cfrac%7B15x%5E3%7D%7B%283x-1%29%282x%2B1%29%7D)
одз:
![2x+1 \neq 0 \\x \neq -0,5 \\3x-1 \neq 0 \\x \neq \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=2x%2B1+%5Cneq+0+%5C%5Cx+%5Cneq+-0%2C5+%5C%5C3x-1+%5Cneq+0+%5C%5Cx+%5Cneq+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+)
умножаем все уравнение на (3x-1)(2x+1)
![(3x-1)(2x^3+1)+3x^2(2x+1)=15x^3 \\6x^4+3x-2x^3-1+6x^3+3x^2=15x^3 \\6x^4+3x+4x^3+3x^2 -1=15x^3 \\6x^4-11x^3+3x^2+3x-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=%283x-1%29%282x%5E3%2B1%29%2B3x%5E2%282x%2B1%29%3D15x%5E3+%5C%5C6x%5E4%2B3x-2x%5E3-1%2B6x%5E3%2B3x%5E2%3D15x%5E3+%5C%5C6x%5E4%2B3x%2B4x%5E3%2B3x%5E2+-1%3D15x%5E3+%5C%5C6x%5E4-11x%5E3%2B3x%5E2%2B3x-1%3D0)
решаем это уравнение 4 степени:
если сумма коэффициентов уравнения равна 0, то x=1 является корнем этого уравнения
6-11+3+3-1=12-12=0
x1=1
тогда уравнение можно представить как:
![(x-1)(6x^3+ax^2+bx+c)=6x^4+ax^3+bx^2+cx-6x^3-ax^2-bx \\-c=6x^4+x^3(a-6)+x^2(b-a)+x(c-b)-c](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%286x%5E3%2Bax%5E2%2Bbx%2Bc%29%3D6x%5E4%2Bax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx-6x%5E3-ax%5E2-bx+%5C%5C-c%3D6x%5E4%2Bx%5E3%28a-6%29%2Bx%5E2%28b-a%29%2Bx%28c-b%29-c)
тогда получим, что:
![6x^4-11x^3+3x^2+3x-1= \\=6x^4+x^3(a-6)+x^2(b-a)+x(c-b)-c](https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E4-11x%5E3%2B3x%5E2%2B3x-1%3D+%5C%5C%3D6x%5E4%2Bx%5E3%28a-6%29%2Bx%5E2%28b-a%29%2Bx%28c-b%29-c)
тогда можно составить систему:
a-6=-11
b-a=3
c-b=3
c=1
решаем:
a=6-11=-5
c=1
b=a+3=-5+3=-2
получим:
![(x-1)(6x^3-5x^2-2x+1)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%286x%5E3-5x%5E2-2x%2B1%29%3D0)
теперь находим корни
![6x^3-5x^2-2x+1](https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E3-5x%5E2-2x%2B1)
6-5-2+1=7-7=0, значит x=1 - корень этого уравнения, и его можно представить как:
![(x-1)(6x^2+ax+b)=6x^3+ax^2+bx-6x^2-ax-b= \\=6x^3+x^2(a-6)+x(b-a)-b](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%286x%5E2%2Bax%2Bb%29%3D6x%5E3%2Bax%5E2%2Bbx-6x%5E2-ax-b%3D+%5C%5C%3D6x%5E3%2Bx%5E2%28a-6%29%2Bx%28b-a%29-b)
тогда получим, что:
![6x^3-5x^2-2x+1=6x^3+x^2(a-6)+x(b-a)-b](https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E3-5x%5E2-2x%2B1%3D6x%5E3%2Bx%5E2%28a-6%29%2Bx%28b-a%29-b)
можно составить систему:
a-6=-5
b-a=-2
-b=1
решаем:
b=-1
a=6-5=1
получим:
![6x^3-5x^2-2x+1=(x-1)(6x^2+x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=6x%5E3-5x%5E2-2x%2B1%3D%28x-1%29%286x%5E2%2Bx-1%29)
в итоге:
![(x-1)(x-1)(6x^2+x-1)=0 \\(x-1)^2(6x^2+x-1)=0 \\x_1=1 \\6x^2+x-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%28x-1%29%286x%5E2%2Bx-1%29%3D0+%5C%5C%28x-1%29%5E2%286x%5E2%2Bx-1%29%3D0+%5C%5Cx_1%3D1+%5C%5C6x%5E2%2Bx-1%3D0+)
корни этого квадратного трехчлена не подходят по одз, поэтому уравнение имеет только 1 корень: x=1
Ответ: x=1