Question

Из пластины, имеющей форму правильного треугольника площадью 9 корней из 3, вырезан квадрат, имеющий максимально возможную площадь. Чему равен его периметр?

Варианты ответов:
64 корня из 3−96
24−12 корней из 3
54−16 корней из 3
18 корней из 3−12
48 корней из 3−72

Answer 1

Квадрат, вырезаемый  из пластины, имеющей форму правильного треугольника, должен быть вписанным в нее, чтобы иметь наибольшую площадь. Любой другой будет иметь меньшую длину стороны.

 Найдем сторону правильного треугольника, выразив ее из формулы площади правильного треугольника.
 9√3=(a² √3):4 
36√3=a²√3 
a=√36=6 
АС=6, НС=3 
Пусть треугольник будет АВС, его высота -ВH, вписанный в него квадрат - ЕКМТ.
Примем половину стороны квадрата равной х, тогда КМ=2х,
Треугольники ВНС и КМС подобны - оба прямоугольные и имеют общий угол С. 
ВН=ВС*sin 60º=3√3 
МС=НС-НМ=3-х 
Из подобия треугольников следует 
ВН:КМ=НС:МС 
(3√3):2х=3:(3-х)
6х=9√3-х*3√3
Сократим на 3 обе части уравнения
2х=3√3-х√3
2х+х√3==3√3 
х(2+√3)=3√3 
х=3√3 :(2+√3)
Домножим числитель и знаменатель правой части уравнения на (2-√3) 
х=3√3 *(2-√3):(2+√3)*(2-√3) 
х=3√3 *(2-√3):(4-3) 
2х=6√3 *(2-√3)=12√3-18 

Р=4*(12√3-18)=48√3-72