Даны длины сторон треугольника <span>AB=5, AC=11, BC=12. </span><span>Из вершины A треугольника ABC опущены перпендикуляр AX на биссектрису угла B и перпендикуляр AY на биссектрису внешнего угла C. Найти длину отрезка ХУ.
Данную задачу можно решить двумя способами: 1) геометрическим, 2) векторным.
1) По заданным длинам сторон треугольника АВС находим углы: </span><span><span /><span>
cos A= (<span>АВ²+АС²-ВС²)/(</span></span></span>2*АВ*АС)<span> =
0,018182. </span><span><span /><span><span>
A =
1,552614
радиан
</span><span>=
88,9582
градусов. </span></span></span><span><span /><span>
cos В= (<span>АВ²+ВС²-АС²)/(</span></span></span>2*АВ*ВС)<span> =
0,4. </span><span><span /><span><span>
B =
1,159279
радиан
</span><span> =
66,42182
градусов. </span></span></span><span><span /><span>
cos C= (<span>АC²+ВС²-АВ²)/(</span></span></span>2*АC*ВС)<span> =
0,909091. </span><span><span /><span><span>
C =
0,4297
радиан
</span><span>=
24,61998
градусов. Заданный отрезок ХУ рассмотрим как основание трапеции ВХУС. ХУ = 12 - 5*cos(B/2)*cos(B/2) + 5*cos(B/2)*sin(B/2)*tg(C/2). Подставив значения функций углов, находим: ХУ = 9.
2) Рассмотрим треугольник АВС в системе координат: точка А - начало, точка С -на оси Ох. С учётом найденных значений углов, определяем координаты вершин: </span></span></span><span><span /><span><span>
Точка А Точка В Точка С
</span><span>
Ха
Уа
Хв Ув Хс Ус
</span><span>
0 0 0,090909
4,999173 11
0
</span></span></span>Используем формулу биссектрисы по координатам вершин и длинам сторон: <span><span /><span><span>ВХ<span>:
(</span></span>(Уа-Ув
+
Ус-Ув
<span>)/АВ) * Х + ((</span>Хв-Ха
+
Хв-Хс
)/ВС) * У + ((Ха*Ув
-
Хв*Уа)/АВ
+ (Хс*Ув
-
Хв*Ус)/ВС<span>) =</span>
0. Подставив значения, получаем </span></span>ВХ в виде уравнения с угловым коэффициентом: <span>
у(ВХ) =
-1,5898732
х
+
<span>5,143707. </span></span>Уравнение перпендикуляра АХ из точки А на эту биссектрису с учётом к(АХ) = -1/к(ВХ) : у(АХ) = <span><span>0,628980978х. </span></span>Находим координаты точки Х как точки пересечения прямых АХ и ВХ <span><span /><span><span>
x(Х) =
2,318182; у</span><span>(Х) =
1,4580923. Аналогично находим координаты точки У: </span></span></span><span><span /><span><span>
x(У) =
10,5;
</span><span>
y(У) =
-2,2912878. </span></span></span>Теперь длина ХУ равна: ХУ = √((x(Х)-x(У))²+(у(Х)-у(У))²) = 9.
<span>Углы PNB
и DNE – вертикальные,
т.е равны. Т.к. N – середина отрезков,
то PN=NE,DN=NB, следовательно, треугольники PNB и DNE
равны по двум сторонам и углу между ними. Т.к. они равны, то PBIIDE. Ч.т.д.</span>