Question

Как расставить десять цифр, чтобы число делилось на все числа от 1 до 18?

Задача: из десяти различных арабских цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) составить десятизначное число таким образом, чтобы оно делилось без остатка на все натуральные числа от 1 до 18. При этом не исключается, что решений задачи может быть и несколько (больше одного).

Как же следует расставить цифры? Можно ли решить данную задачу, не применяя метод перебора всех десятизначных чисел?

Answer 1

Все делители разложим на множители.

1=1

2=2

3=3

4=2*2

5=5

6=2*3

7=7

8=2*2*2

9=3*3

10=2*5

11=11

12=2*2*3

13=13

14=2*7

15=3*5

16=2*2*2*2

17=17

18=2*3*3

Из этих разложений выберем все простые числа. Если простое число встречается повторно, то ещё раз включаем его. Перемножим их. Получим:

2*3*2*5*7*2*3*11*13*2*17=12252240

Итак, наше число (если такое существует), должно быть кратно 12252240.

Разделим максимальное число, записанное всеми 10 цифрами (9876543210),на это число, получим 806,101024.

Разделим минимальное число, записанное всеми 10 цифрами (1023456789),на это число, получим 83,53221852

Значит нужно перебрать всего лишь (806-84)=722 комбинации вида:

12252240*84=

12252240*85=

Разумеется, "вручную" перебирать все эти варианты задача неблагодарная. Но, к счастью, есть такой мощный инструмент, как Excel. С его помощью задача решается за 20 минут. Вот что получилось:

12252240*199=2438195760

12252240*309=3785942160

12252240*388=4753869120

12252240*398=4876391520

Нашлось 4 числа, удовлетворяющих условию: 2438195760, 3785942160, 4753869120, 4876391520.