1) Метод разделения переменных. Это самый простой случай.
dy/dx*p(y) = q(x)
p(y)dy = q(x)dx
Дальше интегрируем и получаем
P(y) = Q(x) + С - функция в неявном виде, иногда ее можно свести к y = F(x). Иногда нельзя, но все равно это решение.
2) Однородное уравнение 1 порядка
y' = p(x,y) ИЛИ x*y' = p(x,y)
Чтобы проверить, является ли уравнение однородным, можно заменить все x на ax, y на ay. y' не меняется!
Если все коэффициенты а можно сократить и в результате получится исходное уравнение - оно однородное.
Решается заменой y = x*t(x), тогда y'(x) = t(x) + x*t'(x)
Чаще всего при такой замене уравнение сводится к разделяющемуся.
3) Неоднородное уравнение 1 порядка.
y' + p(x)*y = q(x)
Функции p(x) и q(x) зависят ТОЛЬКО от х, и могут быть просто числом.
При проверке на однородность все коэффициенты сократить не удается, или удается, но получается ДРУГОЕ уравнение.
Решается двумя методами
А) Методом Бернулли, то есть заменой y(x) = u(x)*v(x). Тогда y'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x).
Получается u'*v + v'*u + p(x)*u*v = q(x)
Во 2 и 3 слагаемых выносим за скобки все, что можно: u'*v + u*(v' + p(x)*v) = q(x)
Теперь приравниваем скобку к 0 и получаем систему:
{ v' + p(x)*v = 0
{ u'*v = q(x)
Это два уравнения с разделяющимися переменными.
Б) Метод вариации произвольной постоянной. Сначала в уравнении y' + p(x)*y = q(x) обнуляем правую часть
y' + p(x)*y = 0
Получили простое разделяющееся уравнение. Решаем его и получаем y0 = ~C*F(x)
Здесь ~C - это константа, которую мы заменяем на функцию u(x). Поэтому метод и называется - вариация постоянной.
Проводим замену в исходном уравнении
y0' + p(x)*y0 = q(x)
u'*F(x) + u*F'(x) + p(x)*u*F(x) = q(x)
При этом ВСЕГДА получается так, что u*F'(x) + p(x)*u*F(x) = 0 (если нет - значит, мы ошиблись), то есть
u'*F(x) = q(x)
Отсюда находим функцию u и получаем в итоге
y(x) = u(x)*F(x) + C, где u(x) уже известна.
4) Однородное линейное уравнение 2 порядка.
y'' + p*y' + q*y = 0
Здесь p и q - числа. Решается характеристическим уравнением
k^2 + pk + q = 0
В зависимости от того, какие будут корни, получаются функции разного вида.
5) Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
y'' + p*y' + q*y = f(x)
Сначала обнуляем правую часть и решаем однородное
y'' + p*y' + q*y = 0
Решение: y0(x), рассмотрено в 4) пункте.
Потом решаем доп. уравнение
y*(x) = G(x), где функция G(x) имеет такой же вид, как f(x), но с неизвестными коэффициентами.
Коэффициенты мы подбираем, составляя систему.
Окончательно y(x) = y0(x) + y*(x)
6) Уравнения нелинейные и уравнения высших порядков - там свои методы, их мало где проходят.
