Question

Какой физический смысл определенного интеграла?

Answer 1

Вообще написал смысл самого интеграла, его наглядное объяснение...

Сам по себе интеграл не имеет физического смысла, поскольку это абстрактная величина..

Это всё равно как спросить "а какой физический смысл у буквы А" например?

Буква А не имеет смысла, но в сочетании с другими буквами создаёт слово, которое может иметь образ, вот так и с интегралом..

Но если рассматривать приложения в физике, то здесь множество примеров:

Например момент инерции тела находится как определённый интеграл..

Работа силы на определённом отрезке пути - это определённый интеграл по кривой..

Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля - это интеграл по замкнутой кривой..

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность - это интеграл по поверхности (закон Гаусса)..

Причём два последних уравнения являются уравнениями Максвелла, описывающие электромагнитную волну..

А так приложений интеграла в физике тысячи..

Answer 2

Скажем так. Если вы произносите "Определённый интеграл" - своей гортанью создаёте продольные волны, которые через воздух распространяются с затуханием.

Если Вы напишете "Опр. интегр.", то физическим телом определённой плотности вы посредством давления на другое физическое тело наносите из-за стирания (графит, мел) или переноса жидкости (чернила, тушь) условное изображение. Если вы подумали "Опр. интегр.", то в вашем мозге запустился ряд электрических взаимодействий.

Но сам по себе Определённый интеграл - только АБСТРАКТНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТ, которого ни материально, ни энергетически, ни в каком-либо другом виде (тёмной материи или энергии) НЕ СУЩЕСТВУЕТ!!! (Может, возможно, и есть такая субстанция или кластер в гипотетическом информационном поле квантовой физики). Поэтому с его помощью можно только описать математическую модель какого-то физического процесса или величины, но сам интеграл не имеет никакого смысла в отрыве от математики. Поэтому определённый интеграл, с точки зрения моей специальности - кибернетики (которая оперирует и физическими, и абстрактными понятиями), есть только ИНФОРМАЦИЯ.

Answer 3

Физический смысл интеграла в механике - если известно ускорение тела, то интеграл от него по времени - это скорость тела.

Интеграл от скорости - это пройденный путь.

Только нужно не просто найти интеграл, который с константой, а решить задачу Коши.

То есть, чтобы найти формулу скорости на всем пути, нужно знать формулу ускорения и скорость в начальный момент.

Чтобы найти формулу пути при известной формуле скорости, нужно знать начальную координату.

Заметьте - речь идет не о числах, а именно о формулах!

Если вы спросите, как найти скорость, если ускорение равно 5 м/с^2, то вам никто не ответит.

А вот если спросить, как меняется скорость и путь, если ускорение равно a = 2t + 3, тогда ясно, что

v = t^2 + 3t + C1; s = t^3/3 + 3t^2/2 + C1*t + C2

Интегралы используются также и в других областях физики, часть их уже перечислил simpl в 1 ответе.

Answer 4

Смотря какой определённый интеграл: в простейшем случае - это площадь фигуры (если одинарный интеграл на плоскости), ограниченной пределами (прямыми, параллельными оси ординат)..

Но вообще есть интеграл на кривой, он равен длине некой кривой.. В частности есть интеграл по замкнутой кривой..

Есть интеграл по криволинейной поверхности - это двойной интеграл и он выражает площадь криволинейной поверхности, ограниченной пределами..

Есть тройной интеграл - он выражает объём пространственной фигуры..