Пусть дано дифференциальное уравнение
(y²–x²)•dy+2xy•dx=0.
Разделим это уравнение на xy≠0. Получим:
[(y/x)–(x/y)]•dy+2•d<wbr />x=0.
Сделаем замену t=y/x. Тогда y=tx, dy=t•dx+x•dt. Подставив эти выражения в последнее уравнение, получим:
[t–(1/t)]•(t•dx+x•dt<wbr />)+2•dx=0, или
(t²+1)•dx+x•[t–(1/t)<wbr />]•dt=0=>(t²+1)•dx=x•[ (1/t)–t ]•dt.
Разделяя переменные в полученном уравнении, а затем интегрируя обе части получившегося выражения, получим:
[(1–t²)/((1+t²)•t)]•<wbr />dt=dx/x,
ln|t|–ln|t²+1|=ln|x/<wbr />C1|=>t/(t²+1)=x/C1.
Проведя обратную замену t=y/x, после некоторых преобразований, получим два общих решения исходного дифференциального уравнения:
y=[C1±√(C1²–4x²)]/2=<wbr />C±√(C²–x²), C=C1/2.
Метод Крамера.
Находим определители: ∆ = 1·(-3)·(-5) + 1·1·2 + (-1)·4·1 - (-1)·(-3)·2 - 1·1·1 - 1·4·(-5) = 15 + 2 - 4 - 6 - 1 + 20 = 26. Далее аналогичным образом находим ∆1 = 26, ∆2 = 52,
∆3 = -26.
После этого находим корни системы линейных уравнений. x1 = ∆1/∆ = 26/26 = 1,
x2 = ∆2/∆ = 52/26 = 2, x3 = ∆3/∆ = -26/26 = -1.
Матричный метод.
Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где
A= 1; 1; −1
4;−3; 1
2; 1; −5.
b= 4;−3; 9.
Далее находим обратную к матрице A.
A= 1; 1; −1
4;−3; 1
2; 1; −5
Выбираем самый большой по модулю элемент столбца 1 (заменяем местами строки 1 и 2) это 4.
Исключаем элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали.
То же самое делаем со столбцами 2 и 3, хатем исключаем лементы выше главной диагонали и получим обратную матрицу:
A-1=
7/13; 2/13; −1/13
11/13; −3/26; −5/26
5/13; 1/26; −7/26
Решение системы линейных уравнений имеет вид x=(A−1)*b. Получим x=
1; 2; −1. Это и есть ответ.
Однозначно, пригодилось все. Во-первых, высшая математика составила основу моей преподавательской деятельности. Во-вторых, благодаря своим знаниям, я не раз выручала друзей и знакомых, которые в ней ничего не понимали, но очень хотели получить высшее образование. В третьих, высшая математика развила у меня логическое мышление, которое сейчас очень мне помогает в жизни.
Это как? В промежутке от 5 до 5 находится одно-единственное целое число - это 5. И произведение всех чисел из этого промежутка равно, естественно, именно этой пятёрке. Стало быть, ответ - 5. Или какой подвох?
А если не согласен, то можно не объяснять - почему?
Ну вот я не согласен.
Не, теория множеств, слов нет, может быть положена в основу многих разделов математики. Ну, скажем, теория чисел, формальные арифметики, общая алгебра, возможно что-то ещё... я не математик, так что могу не знать всех деталей. Но тем не менее в математике остаётся достаточное количество разделов, которые можно описать, непротиворечиво описать, и не прибегая в понятиям теории множеств и не выводя базовые положения такого раздела из теории множеств.
Тем более что и сама эта теория ещё полна белых пятен и внутренних противоречий, и разрешению некоторых из них не помог даже переход от "наивной теории множеств", её первоначального варианта, к современному варианту.
Но всяко лучше пусть выскажтся специалисты...
