Question

Как определить тип дифференциального уравнения?

Answer 1

То, что написал Roman G об однородных и неоднородных уравнениях, верно не всегда.

Для уравнений 2 и более высоких порядков - да, все правильно. Если уравнение имеет вид

ay'' + by' + cy = 0 - это линейное однородное уравнение 2 порядка,

ay'' + by' + cy = f(x) - это линейное неоднородное уравнение 2 порядка.

Для уравнений 1 порядка все совсем по-другому. Линейное уравнение в общем виде выглядит так:

f(x)*y' + p(x)*y = g(x)

Нужно заменить все x на kx и все y на ky, а y' оставить как есть, а потом все это упростить.

Если в результате упрощения удастся убрать все k, то это уравнение - однородное. Например:

xy' + y = x*e^(y/x)

kxy' + ky = kx*e^(ky/kx)

k(xy' + y) = kx*e^(y/x)

xy' + y = x*e^(y/x)

Если же убрать k не удается, то это неоднородное уравнение. Например:

xy' + y = x*e^x

kxy' + ky = kx*e^(kx)

xy' + y = x*e^(kx)

Решаются они разными методами.

Кроме того, есть еще нелинейные уравнения, они решаются намного более сложными методами. Например, такое:

y'' + y*f(x)*y' + p(x)*y = g(x)

Answer 2

Тип дифференциального уравнения можно определить по его внешнему виду. Если дифференциальное уравнение содержит одну переменную и одну производную от функции, то это простое уравнение первого порядка. Если дифференциальное уравнение содержит вторую производную функции и что-то ещё (цифра, переменная, первая производная функции), то это простое уравнение второго порядка. Существуют дифференциальные уравнения и высших порядков. Если дифференциальное уравнение содержит две перемененные (с двух сторон от знака равенства), то это уравнения с разделяющимимся переменными, переменные необходимо разделить на обе стороны от знака равенства. Существуют и сложные дифференциальные уравнения, которые можно решить методом замены переменной (называем новую переменную, и приравниваем к ней какое-то выражение, имеющее соответствие с исходным выражением). Также существуют системы дифференциальных уравнений наподобие систем из обычных уравнений. Дифференциальные уравнения бывают соответствующими какому-то стандартному виду, например, дифференциальное уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения бывают однородными (выражение равно нулю) и неоднородными (выражение равно какой-то функции). Дифференциальное уравнение может быть с постоянными или с переменными коэффициентами.

В зависимости от физического процесса, который описан дифференциальным уравнением, дифференциальное уравнение может иметь своё специальное название, например, дифференциальные уравнения работы электродвигателя.