При интегрировании по частям нужно функцию разделить на произведение двух, u = той, которая при интегрировании упрощается, или той, которую интегрировать сложнее. Обычно u - это многочлен, если он есть в интеграле.
Формула такая: Int u dv = u*v - Int v du
1) Int x*e^(4x) dx
Здесь выгодно избавиться от x, потому что непонятно, как интегрировать произведение, а просто e^(4x) - легко.
u = x, dv = e^(4x) dx, du = dx, v = 1/4*e^(4x)
Int = x/4*e^(4x) - Int (1/4*e^(4x) dx) = x/4*e^(4x) - 1/16*e^(4x)
2) Int arcsin(9x) dx
Здесь деваться некуда, u = arcsin(9x), потому что других функций у нас нет.
u = arcsin(9x), dv = dx, du = 9/√(1 - 81x^2) dx, v = x
Int = x*arcsin(9x) - Int (9x)/√(1 - 81x^2) dx
Тут имеет смысл применить замену, 1 - 81x^2 = y, dy = -162x dx, поэтому 9x dx = -dy/18
Int = x*arcsin(9x) + 1/18*Int dy/√y = x*arcsin(9x) + 1/18*Int y^(-1/2)dy = x*arcsin(9x) + 1/18*(-2)*y^(1/2) = x*arcsin(9x) - 1/9*√(1-81x^2) + C
3) Int (x^3-2x)*ln(3x) dx
Здесь, как и в первом, u = многочлену
u = x^3 - 2x, dv = ln(3x) dx, du = (3x^2 - 2) dx, v = 1/x
Int = (x^3 - 2x)/x - Int (3x^2 - 2)/x dx = x^2 - 2 - Int (3x) dx + Int (2/x) dx = x^2 - 2 - 3x^2/2 + 2ln |x| + C
4) Int cos(ln 2x) dx
Здесь, как в номере 2
u = cos(ln 2x), dv = dx, du = sin(ln 2x)*1/x dx, v = x
Int = cos(ln 2x)*x - Int x*sin(ln 2x)*1/x dx = cos(ln 2x)*x - Int sin(ln 2x) dx
Новый интеграл такой же непонятный, как старый, поэтому берем снова по частям.
u = sin(ln 2x), dv = dx, du = -cos(ln 2x)*1/x dx, v = x
Int cos(ln 2x) dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x + Int x*cos(ln 2x)*1/x dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x - Int cos(ln 2x) dx
Получилось интересное уравнение:
Int cos(ln 2x) dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x - Int cos(ln 2x) dx
Отсюда
2*Int cos(ln 2x) dx = cos(ln 2x)*x - sin(ln 2x)*x
Поэтому
Int cos(ln 2x) dx = x/2*(cos(ln 2x) - sin(ln 2x))
5) Int (x^2-2x-1)*e^x dx
Здесь опять, как в 1
u = x^2-2x-1, dv = e^x dx, du = 2x-2 dx, v = e^x
Int = (x^2-2x-1)*e^x - Int (2x-2)*e^x dx
Упростили, но не совсем, придется второй раз по частям брать
u = 2x-2, dv = e^x dx, du = 2dx, v = e^x
Int = (x^2-2x-1)*e^x - (2x-2)*e^x + Int 2e^x dx = e^x*(x^2-4x+1) + 2e^x + C = e^x*(x^2-4x+3) + C
6) Int ln((1-x)/(1+x)) dx
Опять, как в номерах 2 и 4, функция только одна.
u = ln((1-x)/(1+x)), dv = dx, du = (1+x)/(1-x)*(-(1+x)-(1-x))/(1+x)^2 dx, v = x
Int = x*ln((1-x)/(1+x)) - Int x*(-1-x-1+x)/((1-x)(1+x)) dx = x*ln((1-x)/(1+x)) + 2*Int x/((1-x)(1+x)) dx
Последний интеграл нужно брать методом неопределенных коэффициентов.
x/((1-x)(1+x)) = A/(1-x) + B/(1+x) = (A(1+x) + B(1-x))/((1-x)(1+x)) = (x(A-B)+(A+B))/((1-x)(1+x))
Система
{ A - B = 1
{ A + B = 0
Отсюда
A = 1/2; B = -1/2
Int = x*ln((1-x)/(1+x)) + 2*Int (A/(1-x) + B/(1+x)) dx = x*ln((1-x)/(1+x)) + Int (1/(1-x) - 1/(1+x)) + C =
= x*ln((1-x)/(1+x)) + ln(1-x) - ln(1+x) + C = x*ln((1-x)/(1+x)) + ln((1-x)/(1+x)) = ln((1-x)/(1+x))*(x - 1) + C
