Главное при решении уравнений с корнями следить за ОДЗ, а также не забывать, что из подкоренного выражения извлекается только арифметический корень,
т.е. √(любое выражение)>=0. (Для краткости вместо откуда или из чего следует, буду применять символ ==>. Не путайте со знаком равно или больше =>).
№ 475.
√(7-√(х-3))=2
Первым делом нужно отследить, чтобы под корнями были неотрицательные выражения. Поскольку есть выражение √(х-3), то должно быть х-3>=0, ==> х>=3.
Далее, должно быть 7-√(х-3)>=0, ==> 7>=√(х-3), ==> х-3<=49, ==> х<=52.
Итак ОДЗ 3<=х<=52.
Теперь приступаем к самому решению путем последовательного возведения в квадрат.
√(7-√(х-3))=2;
7-√(х-3)=4;
7-4=√(х-3);
√(х-3)=3;
х-3=9;
х=12.
Корень входит в ОДЗ.
№ 476.
√(1-3х)=3+х
ОДЗ. Во-первых, 1-3х>=0; ==> 1>=3х; х<=1/3.
Во-вторых, 3+х>=0 ==> х>=-3. Итак, ОДЗ -3<=x<=1/3.
Решаем: возводим обе части уравнения в квадрат:
1-3х=9+6х+x^2;
x^2+9x+8=0;
x(1)=-1, x(2)=-8;
В ОДЗ входит только один корень х=-1.
№ 477.
21+√(2х-7)=х.
Перепишем в виде:
√(2х-7)=х-21.
ОДЗ: 2х-7>=0; ==> 2х>=7 ==> х>=3,5;
х-21>=0; ==> х>=21; Итак, ОДЗ х>=21.
Решаем. Возводим в квадрат:
2х-7=x^2-42x+441;
x^2-44x+448=0;
x(1)=16, x(2)=28. В ОДЗ входит только х=28.
№ 478.
√(4-х)+√(5+х)=3.
ОДЗ 4-х>=0 ==> x<=4; 5+x>=0 ==> x>=-5; Итак ОДЗ: -5<=x<=4.
Решаем. Нужно возвести в квадрат обе части уравнения. Иногда удобнее "разделить корни", т.е. чтобы корни были в разных частях уравнения. Но это не обязательно. Попробуем оставить оба корня в левой части.
(4-х)+2*√((4-х)*(5+х<wbr />))+(5+х)=9;
2*√((4-х)*(5+х))=0;
Сразу получаем: х(1)=4, х(2)=-5. Оба корня входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.
№ 479.
√(2x+1)=2√x-√(x-3).
Для ОДЗ сразу 3 условия: (2x+1)>=0 ==> x>=-1/2, x>=0, (x-3)>=0 ==> x>=3. Итак ОДЗ x>=3.
Возводим в квадрат:
2x+1=4х-4√(x*(x-3))+<wbr />x-3;
4√(x*(x-3))=3x-4;
Ещё раз возводим в квадрат:
16x^2-48x=9x^2-24x+1<wbr />6;
7x^2-24x-16=0
D=24^2+4*7*16*=576+4<wbr />48=1024, x(1)=(24-32)/14=-8/1<wbr />4=-4/7, x(2)=(24+32)/14=4.
В ОДЗ входит только х=4.
№ 480.
√(1+х*√(x^2+24))=x+1<wbr />.
ОДЗ: Вычисление ОДЗ здесь достаточно сложно, оставим это на потом (если потребуется).
Решаем: возводим в квадрат
1+х*√(x^2+24)=x^2+2x<wbr />+1;
х*√(x^2+24)-x^2-2x=0<wbr />;
x(√(x^2+24)-x-2)=0;
Один корень х=0. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что он подходит. Проверим, есть ли ещё корни.
√(x^2+24)-x-2=0;
√(x^2+24)=x+2;
x^2+24=x^2+4x+4;
4x=20;
x=5. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что он подходит.
№ 481.
√(a+x)+√(a-x)=√(2a).
Возводим в квадрат:
a+x+2√((a+x)*(a-x))+<wbr />a-x=2a;
2√((a+x)*(a-x))=0;
2√(a^2-x^2)=0;
a^2-x^2=0;
x(1)=a, x(2)=-a.
№482.
√(x-3)-√(x+3)=2-√(10<wbr />).
Чтобы проще было писать, обозначим свободный член буквой a.
Возводим в квадрат:
x-3-2√((x-3)*(x+3))+<wbr />x+3=a^2
2x-a^2=2√((x-3)*(x+3<wbr />));
x-a^2/2=√(x^2-9);
Ещё раз возводим в квадрат:
x^2-a^2*x+a^4/4=x^2-<wbr />9;
a^2*x=a^4/4+9;
x=(a^4/4+9)/a^2;
x=a^2/4+9/a^2.
Подставляя обратно вместо а его значение (2-√10), получим, что х=7. Это единственный корень, и непосредственной подстановкой убеждаемся, что он подходит.
