Question

Чему равна площадь прямоугольного треугольника с таким свойствами?

В прямоугольном треугольнике

• одна из сторон равна 30;
• медиана перпендикулярна биссектрисе.

Чему равна площадь такого треугольника?

Answer 1

Прошу прощения за то, что без рисунка (черчение - не мой конек).

Итак, дан треугольник АВС, биссектриса СD перпендикулярна медиане АЕ. В этом случае тр-к АСЕ равнобедренный с основанием АЕ, поскольку биссектриса угла А является также и высотой (по условию АЕ перпендикулярно СD). Стало быть, АС = СЕ = ВС/2.

А далее не все так однозначно. Если гипотенузой является АВ, то площадь треугольника равна АС². Если же в заданном треугольнике ВС гипотенуза, то его площадь равна √3*АС²/2.

Опять же, в условии не оговорено, какая из сторон равна 30, поэтому возможны следующие варианты.

1. АВ - гипотенуза, АС = 30, S = 900.
2. АВ - гипотенуза, BC = 30, S = 225.
3. АВ - гипотенуза, АB = 30, S = 180.
4. BC - гипотенуза, АС = 30, S = 450√3.
5. BC - гипотенуза, BС = 30, S = 225√3/2.
6. BC - гипотенуза, АB = 30, S = 150√3.

Надеюсь, в вычислениях нигде не напортачила.

Answer 2

Правильно у этой задачи может быть и второе и третье решение

Для варианта когда АС = 30

Площадь треугольника ABC = AC*AB/2=30*15/2=225

Для варианта когда ВС =30 можно уже использовать синус и косинус, или сумму квадратов (катетов и гипотенузы)

ВС*sin30=АС ---- 30*0,866=25,98

АВ^2+АС^2=ВС^2 ---- 30^2-25,98^2=900-604­<wbr />,96=225,03 AB=15

Площадь треугольника ABC = AC*AB/2=26*15/2=390/­<wbr />2=195 (уже получается приблизительно)

Answer 3

Задачу решал для 10. На лету поменяли 10 на 30, поэтому решение

для первоночального условия. В конце сделаю поправку для площадей (площади будут пропорциональны квадрату коэфф.подобия)

I Биссектриса прямого угла

1) AB=10

x^2+4x^2=900, 5x^2=100, x^2=20

S=x*2x/2=x^2=20

2)AC=10

BC=20,S=10*20/2=100

3)BC=10

AC=5, S=5*10/2=25

С поправкой 10 на 30 площади: 180, 900, 225

II Биссектриса острого угла, проведённая к большему катету

1) AB=10

AC=10/2=5, BC=корень(100-25)=ко­<wbr />рень(75)=5*корень(3)

S=AC*BC/2=5*5*кореньSHY/2=25*корень(3)/2=­<wbr />12,5*корень(3)

2) AC=10

AB=20, BC=корень(400-100)=к­<wbr />орень(300)=10*корень(­<wbr />3)

S=AC*BC/2=100*кореньSHY/2=50*корень(3)

3) BC=10

4x^2-x^2=100, 3x^2=100, x^2=100/3, x=10/корень(3)

S=BC*AC/2=(10*10/кор­<wbr />ень(3))/2=50/корень(3­<wbr />)

С поправкой 10 на 30 площади: 112,5*корень(3), 450*корень(3), 450/корень(3)

III Биссектриса острого угла, проведённая к меньшему катету.

Решений нет ввиду невозможности провести такую биссектрису.

Answer 4

АВС - прямоугольный треугольник

AF - биссектриса (угол BAD=углу EAD=45гр)

угол AEB=90гр, угол ABE=EUKE BAE=90гр/2=45гр

BD - медиана, следовательно AD=DC

AB=30

ABD - прямоугольный треугольник с углами 90-45-45, следовательно - равносторонний

Тогда AB=AE=30

AD=DC=30*2=60

Площадь треугольника ABC = AB*AC/2=30*60/2=900

Ответ: площадь треугольника равна 900

Answer 5

Эта задачка допускает множество решений. Как минимум потому, что неизвестно, какая сторона равна 30 (гипотенуза - тоже сторона...). К примеру, на рисунке из ответа Vedru­ss-а приведена лишь одна из возможных конфигураций, но даже и для неё существует три варианта ответа, потому что за 30 фантиков можно принять любую сторону. В этой конфигурации 30 может быть равен и длинный катет, тогда площадь будет вчетверо меньше (отношение катетов там 1:2), и гипотенуза, и тогда площадь будет, навскидку, в 5 раз меньше.

Но прикол ещё и в том, что неизвестно, откуда проведена медиана и откуда - биссектриса. Конфигурация запросто может быть и вот такой:

Здесь биссектриса проведена из острого угла, а медиана - из прямого.

В вот такой конфигурации получается вот что.

Треугольник ABE - равнобедренный с основанием AE (АB=ВЕ), потому что BF в нём не только биссектриса, но и высота (по условию, BD Ʇ AЕ). GE - высота, опущенная из середины гипотенузы - то есть из точки, куда приходит медиана, - на второй катет. Поскольку точка Е есть середина ВС, то точка G будет серединой АС (надеюсь, не надо объяснять почему). И тогда для стороны АВ получаем, что она тоже основание равнобедренного треугольника, потому что опущенная на неё высота является и медианой. Значит, ВЕ=АЕ.

То есть, с учётом полученного ранее равенства, имеем, что AB=BE=AE, и треугольник АВЕ - равносторонний, а углы в прямоугольном треугольнике равны 30, 60 и 90 град.

После чего вычисление площади становится тривиальной задачкой.

Если АВ=30, то АС=30*корень из 3, и площадь равна 900 корней из 3 пополам.

Если АС=30, то АВ=АС делить на корень из 3, и площадь равна 900 делить на корень из 3 и тоже пополам.

Наконец, если ВС=30, то АВ=15 (катет, лежащий против угла в 30 градусов), и площадь равна 225 корней из 3 пополам.