Question

Можно ли вывести уравнение для апофемы правильного 9-ти угольника?

Answer 1

Уже давно доказано, что выразить сторону многоугольника в радикалах и построить его циркулем и линейкой можно,

только если количество сторон выражается или степенью 2, или простым числом Ферма 2^(2^n) + 1 (3, 5, 17, 257, 65537, ...).

Или удвоенное количество сторон. Т.е. Из 3-угольника можно построить 6,12,24-угольники, из 5-угольника 10,20,40-угольники.

Таким образом, ни 7-угольник, ни 9-угольник, ни, например, 15-угольник построить нельзя.

Карл Фридрих Гаусс построил циркулем и линейкой правильный 17-угольник, за что его назвали Королем математиков.

А какой-то немецкий аспирант лет 100 назад так замучил своего преподавателя, что тот велел ему построить 65537-угольник.

Аспирант ушел и вернулся через 20 лет с построением. Сейчас оно хранится в Геттингенском университете.

Итак, ответ на ваш вопрос: выразить сторону или апофему 9-угольника в радикалах нельзя.

Answer 2

Для правильного n-угольника со стороной а легко посчитать радиус описанной около него окружности: a/(2sin(pi/n)), а также радиус вписанной в него окружности: a/(2tg(pi/n)). Элементарно рисуются соответствующие треугольники и записываются элементарные тригонометрические формулы. Таким образом, апофема правильного 9-угольника со стороной а равна a/(2tg(20 град.)). К сожалению, tg(20 град.) не выражается в радикалах.