Для того, чтобы понять, как правильно писать "на этой неделе" или "на этой недели", нужно:
1) Просклонять слово "неделя" по падежам.
2) Определиться с падежом, в котором употребляется слово "неделя" и подобрать нужную форму.
<hr />
Итак, "неделя" - это существительное женского рода, имеющее окончание "я". Значит это 1 склонение.
Склонение по падежам:
И.п - (что?) неделя.
В.п - (чего?) недели.
Д.п - (чему?) неделе.
В.п - (что?) неделю.
Т.п - (чем?) неделей.
П.п - (о чём?) (о) неделе.
Теперь определяемся с падежом.
На чём? - на этой неделе. Это предложный падеж.
Таким образом, правильным будет вариант "на этой неделе".
<hr />
Кстати, если возникают затруднения с тем, какую букву писать в окончании - "е" или "и", можно вспомнить написание схожих слов.
Например:
Садить овощи на земле.
Или:
Настойка на конопле.
У слов "земля" и "конопля" окончание ударное, поэтому наличие буквы "е" в окончании очевидно.