Правильное написание зависит от того, какая часть речи перед нами и на какой по счёту слог делается ударение. В написаниях ПОТОМ и ПАТОМ ошибок нет, если слова употреблены в соответствующих написаниям значениях и с соответствующим ударением.
Если произнести данные слова с ударением на слоге первом – ПО́ТОМ и ПА́ТОМ, то оба слова входят в лексику нашего языка.
I Есть у нас существительное ПОТ. Его отличает перемещающееся с основы на окончание ударение: в числе единственном оно на основе, а поскольку основа равна корню, то на корне, а во множественном – на окончании.
ПО́ТОМ – творительный падеж числа единственного лексемы ПОТ (и влажный продукт жизнедеятельности подкожных желёз человека, и под действием холода появляющийся на чём-либо влажный налёт). Любители заморских чёрных комедий, думаю, помнят вызвавший неоднозначные оценки критиков фильм «Кро́вью и по́том» американского режиссёра, а заодно и продюсера Майкла Бэя.
II А шахматисты хорошо знают лексему ПАТ (положение, когда фигурам одной стороны некуда двигаться, но мат королю не объявлен). Во всех её (лексемы) 12 словоформах ударна основа, которая тоже равна корню. И опять же творительный падеж числа единственного – ПА́ТОМ – показывает, что из двух написаний, в коих ударение не проставлено, можно выбрать и второе, просто слово будет той же самой части речи, что и по́том, но, естественно, с абсолютно иным значением.
У лексемы ПАТ есть омоним: сладкоежки прекрасно знают, что ПАТ – это один из видов мармелада.
Шахматные и кулинарные ПАТЫ – омонимы полные, то бишь совпадающие во всех своих словоформах, включая и творительный единственного:
- Моя шахматная партия с Борисом закончилась па́том.
- Я пью чай с вкуснейшим яблочным па́том.
III Кроме уже названных лексем, есть собственное наименование ПА́ТОМ, являющееся частью составных топонимов:
- Большой Па́том – громкое название села в Иркутской области с 54 жителями, согласно переписи 2010 года;
- Большой Па́том – российская река, правый приток Лены (Иркутская область);
- Малый Па́том – ещё одна российская река, тоже правый приток Лены (Иркутская область и Олёкминский район Якутии).
IV Существует также фамилия Пат. Из известных людей её носят израильский политик 1970-х – 1980-х годов (1933 г. р.) и дартсмен из Канады (1966 г. р.), по данным Википедии, чемпион мира BDO (1994 год) и двукратный чемпиона мира PDC (2003 и 2008 годы). Иноязычные фамилии, заканчивающиеся согласным, склоняются при обозначении лиц пола мужского и в падеже творительном имеют окончание -ОМ:
- встреча с министром Гидеоном Па́том;
- соревноваться с Джоном Па́том в метании дротиков.
V Люди солидного возраста, безусловно, помнят дуэт датских комиков – Пата и Паташона. Пат – высокий, худой, меланхоличный. С Па́том рядом всегда был Паташон – шустренький и очень подвижный толстячок.
Конечно же, собственные имена – топонимы Па́том (названия географические) в падежах именительном / винительном и антропонимы Па́том (имя и фамилия Пат, с Па́том) в падеже творительном – кроме всего прочего, пишутся ещё и с прописной буковки, но я всё же решила включить их в свой ответ.
Если произнести данные в вопросе слова с ударением на слоге втором, то лишь один вариант написания – ПОТО́М – является достоянием нашего языка.
VI Но в нашем богатом языке два слова ПОТО́М.
Во-первых, это наречие со значением «вслед за чем-то, за какими-то событиями, действиями»:
- Сначала думай, а уж пото́м говори.
- Сделай уроки, пото́м погуляй.
Во-вторых, союз:
- Здесь темно, мрачно, пото́м даже неудобно.
- Не хочу я идти в парк, и пото́м на такой поход у меня денег нет.
ВЫВОД: язык русский так богат, что частенько можно аргументировать даже на первый взгляд кажущиеся невероятными написания. Например, здесь я показала, когда следует писать «велик», а когда «вилик», а здесь обосновала верность написания не только «натощак», но и «на тощак».