Если <span>диагонали трапеции АВСД перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке Е, то треугольники АЕД и ВЕС подобны друг другу и имеют острые углы в 45</span>°.
АЕ = АД*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9.
EC = BC*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3.
Диагонали АС и ВД равны друг другу по свойству вписанной трапеции.
АС = ВД = 9 + 3 = 12.
Они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция.
Поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника.
R = abc/(4S).
Боковую сторону находим по теореме косинусов:
СД = √(АС²+АД²-2*АС*АД*cos45°) = √(162+144-216) = √90 =
= <span><span>9.486833.
</span></span>Площадь треугольника АСД находим по формуле Герона:
S √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Полупериметр р = (а+в+с)/2 = <span><span>17.107378.
</span></span>Тогда S = 54.
Детали этого треугольника:
<span><span> a b c
p 2p S
</span><span>
9.486833
12.727922 12 17.107378 34.21475504 54
x=р-а y=р-в z=р-с x*y*z p*x*y*z
</span> <span>7.620545 4.379456
5.107378 170.45278 2916
</span><span>cos A =
0.707107
cos B =
0.316228 cos С =
0.447214
</span><span>
Аrad =
0.785398 Brad =
1.249046 Сrad =
1.107149
</span><span>
Аgr =
45
Bgr =
71.565051 Сgr =
63.434949.
Теперь находим радиус:
R = (</span></span>9.486833*12.727922*12)/(4*54) = <span><span>1448.972/216 =</span></span><span> = 6.708203932.
Это же значение можно представить как R = </span>√45 = 3√5.
Площадь треугольника АСД можно найти проще:
S = (1/2)*АД*АС*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54.
Радиус окружности можно определить через корни:
R = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.
Остальные два угла острые. это точно.
Используйте формулу Герона для нахождения площади исходного треугольника АВС.
Все три треугольника имеют одну и ту же высоту ВК.
Найдя из площади Δ АВС высоту, без труда сможете решить задачу.
Рисунок во вложении
Обозначим высоты как h1, h2, h3, а стороны к которым они проведены а1, а2 и а3.
Площадь треугольника можно вычислить через любую его сторону и высоту, проведённую к ней. Площадь при каждом вычислении будет одинаковая, значит все варианты можно приравнять. Деление на два при этом можно сразу сократить.
h1:h2:h3=2:3:4=2x:3x:4x ⇒ h1=2x, h2=3x, h3=4x.
h1·a1=h2·a2=h3·a3,
2x·a1=3x·a2 ⇒ 2·a1=3·a2 ⇒ a1:a2=3:2.
3x·a2=4x·a3 ⇒ a2:a3=4:3, значит отношение сторон треугольника:
а1:а2:а3=3:2:1.5. Пусть это отношение будет 3у:2у:1.5у. Очевидно, что сторона а3 - наименьшая.
Периметр Р=а1+а2+а3=3у+2у+1.5у,
6.5у=130,
у=20,
а3=1.5у=30 - это ответ.
Xb = (xa + xc) / 2 => xc = 2xb -xa = 6 - 2 = 4
аналогично yc = 6 +4 = 10
