Question

В окружность вписана трапеция, диагонали которой перпенди- кулярны друг другу, а основания равны 9 корней из 2 и 3 корня из 2 . Чему равны радиус окружности и боковые стороны

Answer 1

Если диагонали трапеции АВСД перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке Е, то треугольники АЕД и ВЕС подобны друг другу и имеют острые углы в 45°.

АЕ = АД*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9.
EC = BC*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3.
Диагонали АС и ВД равны друг другу по свойству вписанной трапеции.
АС = ВД = 9 + 3 = 12.
Они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция.
Поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника.
R = abc/(4S).
Боковую сторону находим по теореме косинусов:
СД = √(АС²+АД²-2*АС*АД*cos45°) = √(162+144-216) = √90 = 
= 9.486833.
Площадь треугольника АСД находим по формуле Герона:
S √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Полупериметр р = (а+в+с)/2 = 17.107378.
Тогда S = 54. 
Детали этого треугольника:
       a              b            c           p                  2p            S
9.486833   12.727922   12   17.107378   34.21475504    54
      x=р-а         y=р-в           z=р-с       x*y*z        p*x*y*z     
  7.620545    4.379456   5.107378   170.45278     2916  
cos A = 0.707107   cos B = 0.316228    cos С = 0.447214
Аrad = 0.785398     Brad = 1.249046    Сrad = 1.107149
Аgr = 45                 Bgr = 71.565051    Сgr = 63.434949.

Теперь находим радиус:
R = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) = 1448.972/216 =   = 6.708203932.
Это же значение можно представить как R = √45 = 3√5.

Площадь треугольника АСД можно найти проще:
S = (1/2)*АД*АС*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54.

Радиус окружности можно определить через корни:
R = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.