Question

Докажите, что произведение любых трех чисел (см) Как доказать?

Докажите что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Answer 1

Чтобы число делилось на 6 необходимо чтобы оно делилось на 2 и 3.На 2 делится так как среди трёх последовательных натуральных чисел,а они являются делителями этого произведения есть хотя бы одно чётное число.А чётные числа на 2 делятся.Методом математической индукции докажем что произведение делится на 3.Проверим на числах 1*2*3=6,делится на 3.Предположим что произведение Х(Х+1)(Х+2) делится на 3.Перемножив получим X^3+3X^2+2X.Докажем что произведение (Х+1)(Х+2)(Х+3) делится на 3.Перемножим получим (Х^2+3X+2)(X+3)=(X^3­<wbr />+3X^2+2X)+(3X^2+9X+6)­<wbr />.Это сумма двух слагаемых,сами так представили.Слагаемо­<wbr />е в первых скобках делится на 3 по предположению,слагае­<wbr />мое во вторых скобках видно что делится на 3.Можно и так рассуждать,что если два числа делятся на 3 то и разность этих чисел делится на 3 ,а отсюда можно сделать вывод что если первое число делится на 3 и разность между вторым и первым числом делится на 3,то и второе число делится на 3.В нашем случае первое число это Х(Х+1)(Х+2),второе число (Х+1)(Х+2)(Х+3) а разность их это-(3X^2+9X+6)

Answer 2

Из любых трех последовательных чисел одно точно будет четным (будут сочетания, когда будет даже 2 четных числа). То есть, уже имеем деление произведения хотя бы на 2.

Из любых трех последовательных чисел одно всегда будет делиться на 3. То есть, имеем деление произведения на 3.

Следовательно, имеем два множителя 2 и 3. Если произведение делится на 2 и на 3, то оно точно делится на их произведение, то есть 6.