Question

Решите уравнение, х²+1/х+х/х²+1=-5/2, используя введение новой переменной

Answer 1

$\frac{ x^{2} +1}{x}+ \frac{x}{ x^{2} +1}=- \frac{5}{2}$
Замена переменной
$\frac{ x^{2} +1}{x}=t,$
тогда
$\frac{x}{ x^{2} +1}= \frac{1}{t}$
Уравнение принимает вид:
$t+ \frac{1}{t}=- \frac{5}{2}$
или
$\frac{2t ^{2}+5t+2 }{2t}=0$
t≠0
2t²+5t+2=0
D=25-16=9
t=(-5-3)/4=-2  или  t=(-5+3)/4=-1/2
Возвращаемся к переменной х:
$\frac{ x^{2} +1}{x}=-2,$
x≠0
x²+2x+1=0    ⇒(x+1)²=0    ⇒ x=-1
или
$\frac{ x^{2} +1}{x}=- \frac{1}{2}$
x≠0
2x²+2=-x
2x²+x+2=0
D=1-4·2·2<0
нет корней
Ответ. х=-1