Question

Сумма и разность кубов

Answer 1

Для разложения на множители суммы кубов используется тождество:

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2),

которое называют формулой суммы кубов

Чтобы её доказать, умножим двучлен a + b на трехчлен a2 - ab + b2:

(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3.

Множитель a2 - ab + b2 в правой части равенства напоминает трёхчлен a2 - 2ab + b2, который равен квадрату разности a и b. Однако, вместо удвоенного произведения a и b в нем стоит просто произведение. Трехчлен a2 - ab + b2 называют неполным квадратом разности a и b.

Итак: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Для разложения на множители разности кубов используется тождество:

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2),

которое называют формулой разности кубов

Чтобы её доказать, умножим двучлен a - b на трехчлен a2 + ab + b2:

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3.

Множитель a2 + ab + b2 в правой части равенства напоминает трёхчлен a2 + 2ab + b2, который равен квадрату суммы a и b. Однако, вместо удвоенного произведения a и b в нем стоит просто произведение. Трехчлен a2 + ab + b2 называют неполным квадратом суммы a и b.

Итак: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.