Выражение это довольно новое. Во всяком случае, в словаре В.И.Даля его нет. Нет его и в довоенном словаре Ушакова. Но есть в произведениях советских писателей: С,антонова ("На военных дорогах", Э.Казакевича ("Дом на площади"), В.Тендрякова ("Короткое замыкание"), Д.Гранина ("Иду на грозу"). По поводу происхождения этого выражения есть как минимум четыре версии.
Версия первая. Регулятор громкости радиоприемников по форме напоминал катушку. И тогда "включить на всю катушку" означало - на полную громкость.
Версия вторая. От игрушки: на деревянную катушку без ниток прибивался (гвоздиками без шляпок) пропеллер и с помощью веревки, намотанной на катушку, она быстро раскручивалась и пропеллер взлетал.
Версия третья. Выражение пошло от рыболовов, которые ловили на спиннинг. Если с катушки спиннинга разматывается вся леска, крючок можно забросить очень далеко - "на всю катушку".
Версия четвертая. Выражение из языка связистов во время войны.
Узнать, когда это выражение появилось впервые, можно, если поработать с НКРЯ. Возможно, времени уйдет немного.