Question

Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен альфа. Найдите плоский угол при вершине пирамиды если cos альфа/2 = 2/3

Answer 1

Обозначим сторону основания а.
Проведём плоскость через ребро основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC для выделения угла между боковыми гранями.
Обозначим на ребре SC точку К - это вершина равнобедренного треугольника АКВ. По заданию угол АКВ равен α.
sin (α/2) = √(1-cos²(α/2)) = √(1-(4/9)) = √(5/9) = √5/3
 Сторона АК = (а/2)/sin(α/2) = (a/2)/(√5/3) = 3a/(2√5).
Теперь рассмотрим боковую грань АSC. В этом треугольнике АК - высота.Угол С = arc sin (AK/AC) = arc sin( 3a/(2√5)/a = arc sin 3/(2√5) = 
=  0.735314 радиан = 42.13041 градусов.
Искомый угол при вершине равен 180-2(угла С) = 180 - 2*42.13041 = 
= 95.73917 градуса.