.................................................
Рис.1
Так как окружность вписана в трапецию, то сумма противоположных сторон равна. AD+BC=AB+CD=2AB (так как трапеция равнобедренная). 3+7=2АВ, значит АВ=CD=5.
Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(7-3)/2=2.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD², 2²+CK²=5², CK²=25-4=21, СК=√21.
Площадь трапеции равна
S=СК*(BC+AD)/2=5√21
Из соображений симметрии FC=AP=2 и AE=CM=x (неизвестная длина)
Ромб - четырехугольник, у которого все стороны равны:
PE=EF=FM=MP (гипотенузы треугольников PAE, EBF, FCM, MDP)
По теореме Пифагора
2^2+x^2=(3-x)^2+3^2
4+x^2=9-6x+x^2+9
6x=14
x=7/3
Нашли все отрезки:
AE=CM=7/3
EB=MD=2/3
Далее находим сумму площадей всех треугольников PAE, EBF, FCM, MDP
St=(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)+(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)=7/3+1+7/3+1=20/3
Площадь прямоугольника S=5*3=15
Площадь ромба s=S-St=15-20/3=25/3
Отношение площадей прямоугольника и ромба
S/s=15/(25/3)=9/5
Ответ: <em>отношение площадей прямоугольника и ромба</em> = 9/5
Есть теорема:
Если две стороны и прилежащий к ним угол одного треугольника равны двум сторонам и угол прилежащий к ним другого треугольника равны то эти треугольники равны.
Треуг АРК и ВРМ будут подобны, т.к. углы М и К - прямые, т.е. равны и углы АРК и ВРМ равны как вертикальные. ( т.е. по двум углам)
Мы можем найти коэффициент подобия сторон. У нас ВР/АР = 20/24 = 5/6
Отсюда PМ / РК = 5/6 . 15/РК = 5/6
5 РК = 90 . РК = 18. Отсюда ВК = 20+18 = 38:)