Допустимые значения для параметра a: a>0, a не равно 1
Для x - ограничений нет
a^x=a^0,5
ln(a^x)=ln(a^0,5)
x*ln(a)=0,5*ln(a)
x=0,5 (т.к. ln(a) не равен нулю)
Можно, конечно, свести к решению показательного уравнения a^x=a^0,5, откуда сразу следует, что x=0,5 (для девятиклассников)
А если желаете выпендриться, то вспоминайте определение корня: арифметическим квадратным корнем наз. неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
Тогда (a^x)^2=a, a^(2x)=a^1, 2x=1, x=0,5
Всё просто..
Систему из двух линейных дифуравнений можно преобразовать одно в линейное дифуравнение второго порядка..
Для этого например находим у из первого уравнения:
y=6x-x'
Дифференцируем его:
y'=6x'-x''
Теперь подставляем во второе уравнение:
6x'-x''=3x+2(6x-x')
Теперь приводим:
6x'-x''-3x-12x+2x'=0
Окончательно получаем дифуравнение второго порядка:
-x''+8x'-15x=0
Решаем это уравнение, оно имеет только свободную составляющую..
Находим решение квадратного алгебраического уравнения:
-x^2+8x-15=0
x1=5
x2=3
Оба корня действительные..
Тогда решение уравнения может быть выглядеть:
x(t)=C1e^5t+C2e^3t
Теперь ищем постоянные интегрирования:
x(0)=C1+C2
x'(0)=5C1+3C2
Откуда решая систему получим:
C2=(5x(0)-x'(0))/2
C1=(-3x(0)+x'(0))/2
Из первого уравнения:
y=6x-x'
x'=5C1e^5t+3C2e^3t
Откуда:
y(t)=6(C1e^5t+C2e^3t)-5C1e^5t-3C2e^3t
Окончательно:
y(t)=C1e^5t+3C2e^3t
Постоянные интегрирования через нулевые начальные условия по x и у:
x(0)=C1+C2
y(0)=C1+3C2
Откуда:
С1=(3х(0)-у(0))/2
С2=(х(0)-у(0))/2
Подставляем и получаем окончательные решения:
x(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+((x(0)-y(0))/2)e^3t
y(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+(3(x(0)-y(0))/2)e^3t
Здесь можно только сократить, по формуле разности квадратов. Нужно представить в виде c=(√с)^2, и 3=(√3)^2. Тогда числитель (с-3) можно представить в виде ((√с)^2-(√3)^2) и разложить его на множители в виде (√с-√3)*(√с+√3). Теперь в числителе есть одинаковый со знаменателем множитель, и на него можно сократить. Остаётся (√с-√3).
Но в первом случае можно воспользоваться признаком Даламбера. Найти предел отношения n+1 члена к n члену при n стремящимся к бесконечности.lim((9/10)^(n+1)* (n+1)^7/(9/10)^n*n^7)=lim((9/10)*(n+1)^7/n^7)=9/10*lim((n+1)^7/(n^7))=9/10 (предел равен 1). Так получили 9/10<1, то ряд сходится.
Знакочередующий ряд исследовать можно так: рассмотрим ряд, составленный из модулей, получим ряд 1/ n^2. Так как показатель степени больше 1, то ряд сходится ( для того чтобы это доказать, можно использовать признак Коши интегральный). Так как ряд, составленный из модулей, сходится, то и исходный знакочередующийся ряд сходится причем абсолютно.
Для исследования ряда с артангенсом используем признак Коши. Найдем lim((arctg(1/5^n))^n)^(1/n))=lim(arctg(1/5^n))=0. Следовательно, ряд сходится.
Ну и все остальное в том же духе.
Сначала открываем скобки.
6х-4-12х+9=2-4х;
Затем переносим все с х в одну сторону остальное в другую:
6х-12х+4х=2+4-9;
считаем:
-2х=-3;
х=1.5;
