Общий порядок решения уравнений с модулем таков:
1) вначале вычисляют корни модуля, т.е. те значения аргумента, при которых подмодульное выражение равно нулю. Корни модуля делят совокупность значений аргумента на интервалы, в которых подмодульное выражение положительно или отрицательно.
2) Затем в тех интервалах аргумента, в которых подмодульное выражение неотрицательно (т.е. положительно, или равно нулю) просто берут подмодульное выражение так как есть, т.е. не меняя знаков, а просто "убирая" символ модуля.
3) Затем в тех интервалах аргумента, в которых подмодульное выражение отрицательно при "раскрытии" модуля в подмодульном выражении меняют знаки на противоположные.
<hr />
Конкретно с Вашим примером.
1) Корень модуля равен двум (х-2)=0, х=2; Значение х=2, делит весь интервал значений х на две части.
2) Неотрицательные значения модуля: решаем неравенство (х-2)>=0, его решения х>=2. Значит в интервале от х=2 до бесконечности просто раскрываем модуль:
|x - 2| + 19 = 4x + 11;
x - 2 + 19 = 4x + 11;
6=3x;
x=2.
Получили корень уравнения. Проверяем, входит ли он в рассматриваемый интервал. Входит, значит х=2 является корнем.
3) Отрицательные значения модуля: решаем неравенство (х-2)<0, его решения х<2. Значит в интервале от минус бесконечности до 2 при раскрытии модуля меняем знаки:
|x - 2| + 19 = 4x + 11;
-x + 2 + 19 = 4x + 11;
10=5x;
x=2.
Получили корень уравнения. Проверяем, входит ли он в рассматриваемый интервал. Не входит (мы рассматриваем интервал х<2), значит х=2 не является корнем.
<hr />
Наверное я Вас запутал, то х=2 является корнем уравнения, то не является. Это получилось потому, что уравнение случайно оказалось таким, что его корень равен корню модуля, т.е. на границе интервала.
Рассмотрим другой пример:
|x - 4| + 19 = 4x + 11;
1) корень модуля х=4;
2) x - 4 >= 0; x >= 4. x - 4 + 19 = 4x + 11; 8 = 3x; x = 8/3. Но 8/3 меньше 4 и в рассматриваемый интервал не входит, значит х = 8/3 не является корнем уравнения.
3) x - 4 <0; x < 4. -x + 4 + 19 = 4x + 11; 12 = 5x; x=2,4. 2,4 меньше 4 и входит в рассматриваемый интервал, значит х =2,4 является корнем уравнения.
