Поскольку область значений корней уравнений заранее ограничена интервалом [0; 2π), то решения в общем виде приводить не буду.
задача а)
2*cos^2(x)=sin(x);
2*(1-sin^2(x))=sin(x<wbr />);
2-2*sin^2(x)=sin(x);
2*sin^2(x)+sin(x)-2=<wbr />0;
sin^2(x)+(1/2)*sin(x<wbr />)-1=0;
sin(x)=(-1/4)±√(1/16<wbr />+1);
sin(x)=(-1/4)±(√(17)<wbr />)/4;
sin(x1)=(-1-√(17))/4<wbr />;
sin(x2)=(-1+√(17))/4<wbr />;
(-1-√(17))/4<-1, но так как модуль значения синуса не может превышать 1, этот ответ не входит в ОДЗ.
Остаётся единственный ответ, точнее два: sin(x)=(√(17)-1)/4;
х=arcsin((√(17)-1)/4<wbr />) и х=π-arcsin((√(17)-1)<wbr />/4).
Ответы можно и нужно оставлять в таком виде, но чтобы Вам было понятнее, это углы примерно 51° и 129°.
задача б)
sin^3(x)-5*sin(x)=0;
sin(x)*(sin^2(x)-5)=<wbr />0.
Поскольку (sin^2(x)-5)≠0, то на это выражение можно разделить.
Получаем: sin(x)=0, получается х=0 и х=π.
задача в)
√(3)*sin(x)+cos(x)=1<wbr />;
√(3)*sin(x)=1-cos(x)<wbr />;
(√(3)*sin(x))^2=(1-c<wbr />os(x))^2;
3*sin^2(x)=1-2*cos(x<wbr />)+cos^2(x);
3*(1-cos^2(x))-cos^2SHY+2*cos(x)-1=0;
3-3*cos^2(x)-cos^2(x<wbr />)+2*cos(x)-1=0;
-4*cos^2(x)+2*cos(x)<wbr />+2=0;
cos^2(x)-(1/2)cos(x)<wbr />-1/2=0;
cos(x)=(1/4)±√(1/16+<wbr />1/2);
cos(x)=(1/4)±√(9/16)<wbr />;
cos(x)=(1/4)±(3/4);
Получаем два решения:
cos(x)=1, х=0
cos(x)=-1/2, х=π±(π/3) т.е. х=(π+π/3) и х=(π-π/3), или так: х=(4/3)*π и х=(2/3)*π.
задача г)
cos(x)*cos(2*x)=cos(<wbr />3*x);
(cos(x+2*x)+cos(x-2*<wbr />x))/2=cos(3*x);
cos(3*x)+cos(-x)=2*c<wbr />os(3*x);
cos(-x)=cos(3*x);
cos(x)=cos(3*x);
cos(3*x)-cos(x)=0;
-2*sin((3*x+x)/2)*si<wbr />n((3*x-x)/2)=0;
2*sin(2*x)*sin(x)=0;
sin(2*x)=0; 2*x=0 или 2*x=π, следовательно х=0 или х=π/2;
sin(x)=0, следовательно х=0 или х=π.
Окончательно: х=0, х=π/2, х=π.
задача д)
tg(2*x-π/8)=√(3);
(2*x-π/8)=π/3+π*k;
2*x=π/8+π/3+π*k;
x=π*(1/16+1/6+k/2);
x=π*(11/48+k/2);
получается 4 ответа: х=(11/48)*π, х=(35/48)*π, х=(59/48)*π, х=(83/48)*π.
задача е)
Левая часть при любых значениях аргументов меньше 2 или равна 2, и равна она только когда sin(3*x) равен 1, а cos(2*x) равен -1.
Если sin(3*x) равен 1, то 3*x=π/2, х=π/6, или 3*x=π*(5/2), х=π*(5/6).
Если cos(2*x) равен -1, 2*x=π, х=π/2. Как видим, общих решений нет, значит уравнение не имеет решений.