Отрезок высоты основания ВН = 2/3 высоты треугольника основания.
h = а√3/2 (свойство медиан треугольника). ВН =а/√3.
Тогда наклонное ребро пирамиды равно BS = BH / cos α = a / √3cos α.
<span>Плоскость, проходящая через точку H параллельно ребрам SA и BC, образует прямоугольник так как стороны КМ и ДЕ равны 2/3 стороны основания и углы прямые. КМ = 2а / 3.
</span>Сторона КД = (1/3) BS = a / 3√3cos α.
Отсюда S = 2а² / (9√3cos α).
Заметим, что углы EOD и EOB смежные. Значит, их сумма равна 180 градусам и EOD=180-EOB. Таким образом, для решения задачи достаточно найти угол EOB.
Треугольник AOB является равнобедренным, так как AO=OB (диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам). Угол BAO в этом треугольнике равен 50 градусам, тогда угол BOA также равен 50 градусам, а угол AOB равен 180-50-50=80 градусам. OE - медиана треугольника, так как точка E - середина AB. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также его биссектрисой, тогда угол EOB равен половине угла BOA и равен 80\2=40 градусам.
Таким образом, угол EOD равен 180-EOB=180-40=100 градусам.