Для начала найдем координаты векторов (сторон) и их модули (длины).
Вектор |АВ|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²]= √(0+3²)=3. AB{0;3}.
Вектор |АD|=√[(Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²]= √(4²+2²)=2√5. AD{4;2}.
Вектор |BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²]= √(2²+1²)=√5. BC{2;1}.
Вектор |CD|=√[(Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²]= √(2²+(-2)²)=2√2. CD{2;1}.
Мы видим, что в четырехугольнике нет равных сторон.
Проверим их на параллельность (коллинеарность).
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
Таким образом, вектора ВС и AD - параллельны, то есть четырехугольник - трапеция.
Проверим, не прямоугольная ли у нас трапеция.
Для этого достаточно проверить углы между боковыми сторонами и основанием - векторами АВ и AD, и DA и DC.
Углы между векторами (сторонами) находятся по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)].
Определение: "Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором".
<A - угол между векторами АВ и АD
CosA ( = (0+6)/(6√5)=√5/5 ≈ 0,447. <A=arccos(0,447) ≈64°.
<D - угол между векторами DA и DC:
CosD= (8+(-4))/(4√10)= √10/10 ≈ 0,316. <C=arccos(0,316) ≈72°.
Прямых углов нет.
Итак, четырехугольник выпуклый и является трапецией.
P.S. Для проверки решения сделаем чертежна координатной плоскости. (см. приложение).
Построим параллелограмм ABCD в нем AD и BC диагонали, а значит по свойству параллелограмма Bm =CM а углы ABM и MCD равны как накрест лежащие, AB = CD по условию, значит треугольник ABM равен треугольнику CDM (по второму признаку равенства треугольников, две стороны и угол между ними)
Рассмотрим ΔАВL:
∠ВLА=180°-∠ALC (смежные ∠ВLА и ∠ALC);
∠ВLA=180°-152°=28°;
∠ВAL=180°-∠ВLA-∠ABL (сумма углов в ΔАВL);
∠ВAL=180°-28°-137°=15°
ΔАВС:
АL - биссекриса (по условию) ⇒ ∠А=2·∠ВАL=30°;
∠С=180°-∠В-∠А (сумма углов в ΔАВС);
∠С=180°-137°-30°=13°
Ответ: 13°
Проведем в треугольнике OMQ высоту от O к QM. Т.к. треугольник равнобедренный (OM и OQ - радиусы), то высота делит MQ попола и углы OQM и OMQ равны.
cos(mqo)=(MQ/2)/OQ=6/OQ
cos(omq)=MN/MQ=8/12=2/3
6/OQ=2/3
OQ=6*3/2=9
1.
Дано:
m||n
Угол 2 в восемь раз больше угла 1.
Найти:
Угол 1 -?
Угол 2 -?
Решение:
1) Т.к. m||n, а углы 1 и 2 - односторонний, то их сумма равна 180°.
2) Пусть угол 1 = х, тогда угол 2 = х × 8. Составим уравнение:
х + х × 8 = 180°
х + 8х = 180°
9х = 180°|:9
х = 20°
Угол 1 = 20°
Тогда угол 2 = угол 1 × 8 = 20° × 8 = 160°
Ответ: угол 1 = 20°, угол 2 = 160°.
2.
Дано:
Треугольник ABC
Внутренний угол при вершине А = 53°.
Внутренний угол при вершине С = 42°.
Найти:
Внешний угол при вершине B -?.
Решение:
1) Внутренний угол при вершине B = 180° - (угол A + угол С) = 180° - (53° + 42°) = 180° - 95° = 85°
2) Внешний угол при вершине B = 180° - внутренний угол при вершине В = 180° - 85° = 95° (по свойству смежных углов).
Ответ: внешний угол при вершине В = 95°.