Question

1)Диагонали некоторой трапеции равны 5 см и 12 см а основания 3 см и 10 см.Найдите углы между диагоналями трапеции.
2)Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая пересекающая сторону BC в точке P.Найдите отношения площади треугольника BKP к площади треугольника AMK
3)В трапеции MPRE точка A принадлежит большему основанию ME,AM=MP=a,AE=EK.Найдите площадь трапеции если её диагонали проходят через точку пересечения медиа треугольника PAK.

Answer 1

Трапеция АВСД, ВС=3, АД=10, АС=5, ВД=12, из точки С проводим линию параллельную ВД до пересечения ее с продолжением основания АД а точке К, ДВСК-параллелограмм, ВД=СК=12, ДК=ВС=3, АК=АД+ДК=10+3=13, треугольник АСК , полупериметр (р)=(АС+СК+АК)/2=(5+12+13)/2=15, площадь АСК=корень(р*(р-АС)*(р-СК)*(р-АК))=корень(15*10*3*2)=30, площадь АСК=площадь АВСД если проведем высотуСН на АД то площадь АВСД=(ВС(ДК)+АД)*СН/2=(ДК+АД)*СН/2=АК*СН/2, площадь АВСД=(АС*ВД)*sin углаСОД/2 (О-пересечение диагоналей), 30=(5*12)*sin углаСОД/2, 60=60*sin углаСОД, sin углаСОД=1, что соответствует 90, диагонали пересекаются под углом 90.Треугольник АВС, ВМ-медиана, ВК=КМ, АМ=МС, АР-линия на ВС через К, медиана ВМ делит АВС на два равновеликих треугольника, площадь АВМ=площадь МВС=1/2площадьАВС. АК-медиана треугольника АВМ делит на два равновеликих треугольника , площадь АВК=площадиАКМ=1/2площади АВМ=1/4 площади АВС, проводим МТ параллельную АР до ВС, треугольник АРС, МТ-средняя линия=1/2АР (поскольку АМ=МС и МТ параллельна АР то СТ=ТР), треугольник МВТ, КР-средняя линия=1/2МТ=1/4АР, 4КР=АР, АК=АР-КР=4КР-КР=3КР, проводим высоту ВН на КР (или продолжение КР), площадь АКВ=1/2*АК*ВН=1/2*3КР*ВН=3/2*КР*ВН, площадь КВР=1/2*КР*ВН, поскольку площади АКВ и АКМ равны, то площадь КВР/площадьАКМ=(1/2*КР*ВН) / (3/2*КР*ВН)=1/3 - отношение искомых площадей.

третье задание не понял - где точка К