<u>Задача 4 </u><span><em>К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С - точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. </em><u><em>Доказать, что Т - точка пересечения биссектрис ∆ АВС.</em></u></span> ---------------------------------------------------- Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС. Соединим А и С с центром окружности и с точкой В. <em>АВ=ВС</em> как отрезки касательных из одной точки, АО=ОС - радиусы, ОВ - общая сторона. <u>∠ОВС=∠АВО=30°</u>. Точка Т лежит на ВО <em>ВО</em> - гипотенуза треугольника, в котором катет, противолежащий углу 30°, равен R. ОТ - радиус =><em> ВТ=ОТ.</em> Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС. Треугольники<u> АОТ и ТОС</u> образованы радиусами, они <u>равнобедренные</u> и <em><u>равносторонние,</u></em> так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при В) равен 30°. Следовательно, <u>центральные углы АОТ и ТОС равны 60</u>°. АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ.=> ∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда<u><em> СР и АК - биссектрисы углов А и С.</em></u> Но и<u><em> ВМ биссектриса треугольника АВС</em></u>. <em>Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС.</em> ================================================================== <u>Задача 5</u> <span><em>Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О - середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС . </em><u><em>Вычислить длину этой хорды</em></u><em>, если площадь поверхности куба равна 384 см² </em> --------------------------------------- О</span>бозначим концы хорды К и Р Проведем в окружности диаметр ВD, который является <u><em>хордой и диагональю вписанного квадрата.</em></u> Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD. Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС, высота треугольника=радиус <u>ЕD разделен в точке М пополам</u>. MD=1/4 диаметра окружности, ВМ=3/4 диаметра <em>Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при пересечении этих хорд, равны. </em> <em><u>Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу. </u></em>Хорда параллельна диаметру. <em><u> Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам. </u></em> Пусть КМ=МР=х Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16)D х=0,25√3 D КР=2х=0,5√3 D Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба. Ребро куба найдем из площади его поверхности. Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64см² Ребро куба равно а= √64=8см Диагональ грани равна 8√2см (d=a√2 ) <u>Длина хорды</u> <em>КР</em>=(0,5√3)×8√2=<em> 4√6 см</em>
Пусть L1 и L2- одностороние углы. L1+L2=180° L1-L2=46° Теперь решим это как систему уровнений L1=L2+46 Подставим это в первое уравнение L2+46+L2=180 2L2=180-46 2L2=134 L2=67°. L1=L2+46 L1=113° Ответ: L1= 113° L2=