Question

Смежные стороны параллелограмма равны а и b, a один из его углов равен α. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Answer 1

Если одни угол параллелограмма равен α, то противолежащий ему тоже равен α, а два других равны (180-α).
По теореме косинусов находим диагонали:
$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha \\\ d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos (180-\alpha )=a^2+b^2+2ab\cos \alpha$
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник со сторонами d₁/2; d₂/2; a. Теорема косинусов для этого треугольника:
$a^2=( \frac{d_1}{2})^ 2+( \frac{d_2}{2})^ 2-2\cdot \frac{d_1}{2}\cdot \frac{d_2}{2}\cos x \\\ a^2=\frac{1}{4}(d_1^2+d_2^2)- \frac{1}{2}d_1d_2\cos x \\\ a^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2-2ab\cos \alpha +a^2+b^2+2ab\cos \alpha )- \\\ \ -\frac{\cos x}{2} \sqrt{(a^2+b^2-2ab\cos \alpha)(a^2+b^2+2ab\cos \alpha)} \\\ a^2=\frac{1}{4}(2a^2+2b^2 )-\frac{\cos x}{2} \sqrt{(a^2+b^2)^2-(2ab\cos \alpha)^2} \\\ a^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2 )-\frac{\cos x}{2} \sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2 \alpha}$
$2a^2=a^2+b^2-\cos x \sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2 \alpha} \\\ b^2-a^2=\cos x \sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2 \alpha} \\\ \cos x= \frac{b^2-a^2}{ \sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2 \alpha} } \\\ \Rightarrow x=\arccos \frac{b^2-a^2}{ \sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2 \alpha} }$