При решении задачи используем свойство высты прямоугольного треугольника:
<u><em>Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые она той высотой разделена</em>.</u>
Рассмотрим прямоугольные треугольники АНС и СНВ.
Гипотенузами в них являются соответственно катеты АС и СВ исходного треугольника АВС.
СН²=СК·СВ
И СН²=СР·СА
Продложение решения во вложенном рисунке к задаче.
AM перпендикулярен плоскости ABC =>AM перпенд. AB, т.к AB принадлежит к плоск. ABC.
AM перпендикулярен плоскости ABC =>AB -проекция MB
AB перпенд BC по условию =>MB перпенд BC=>MB -рпсстояние от M до BC
Треугольник с катетами 3 и 4 (как и MBA, например) называется египетским. Его гипотенуза равна 5.=> расстояние от M до BC =5 см
AC=2BC => х=2х
AC+BC=AB => x+2x=18 см
3х=18 см
х=6 см
следовательно, ВС=6 см, АС=6*2=12 см