1) Очень дико видеть "область определения", потому что это то, что задаёт математик. Область существования вещественных прообразов называть "область определения" — дичь! Так вот, область существования аргумента здесь — всё множество действительных чисел ("вся числовая прямая").

2) Пересечение с осью аргументов означает равенство $y = 0$ . То есть требуется решить уравнение $-x^2 + 2x + 8 = 0$ . Это алгебраическое уравнение второго порядка. Два его корня суть 6 и -2.

3) Чётность/нечётность $(x - 6)(x + 2) = 0$ относительно оси значений (x = 0)? Нет, не обладает свойствами ни чётности, ни нечётности.

4) Тут меня раза три остановили, когда я стал исследовать на экстремумы через производную. Если исследовать всё-таки через производные, то

$\frac{d}{dx} \cdot \left(-x^2 + 2x + 8\right) = -2x + 2$

Точки экстремума: $-2x + 2 =0 \Leftrightarrow x = 1$ 0[/tex]

Вторая производная: $\frac{d^2}{dx^2} \cdot \left(-x^2 + 2x + 8\right) = -2$ => выпуклость вверх для любого значения агрумента (прообраза) => точки экстремума — максимумы.