Question

Дана функция у = - х2+2х+8. Найти:

1) область определения функции; 2) точки пересечения функции у = f(x) с осью ОХ;

3) исследовать функцию на четность, нечетность, 4)интервалы монотонности;

5) точки экстремумов; 6) построить график функции;

7) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком у = f(x),

осью ОХ и прямыми х=1 и х=5.

Answer 1

Функция $y(x) = -x^2 + 2x + 8$

 

1) Очень дико видеть "область определения", потому что это то, что задаёт математик. Область существования вещественных прообразов называть "область определения" — дичь! Так вот, область существования аргумента здесь — всё множество действительных чисел ("вся числовая прямая").

 

2) Пересечение с осью аргументов означает равенство $y = 0$. То есть требуется решить уравнение $-x^2 + 2x + 8 = 0$. Это алгебраическое уравнение второго порядка. Два его корня суть 6 и -2.

 

3) Чётность/нечётность $(x - 6)(x + 2) = 0$ относительно оси значений (x = 0)? Нет, не обладает свойствами ни чётности, ни нечётности.

 

4) Тут меня раза три остановили, когда я стал исследовать на экстремумы через производную. Если исследовать всё-таки через производные, то

 

$\frac{d}{dx} \cdot \left(-x^2 + 2x + 8\right) = -2x + 2$

 

Точки экстремума: $-2x + 2 =0 \Leftrightarrow x = 1$ 0[/tex]

 

Вторая производная: $\frac{d^2}{dx^2} \cdot \left(-x^2 + 2x + 8\right) = -2$ => выпуклость вверх для любого значения агрумента (прообраза) => точки экстремума — максимумы.

 

Функция монотонно возрастает при x < 1 и монотонно убывает при x > 1.

 

5) Точки экстремумов были найдены выше.

 

6) Рисунок 1 в аттаче.

 

7) Они хотят интеграл? Ого. Не, это только завтра.