Про транспорт, транспортировку и транспортеры могу сказать, что здесь латинская приставка транс-, имеющая значение переноса, значение через, пере-, и корень тот же, что в словах портативный - переносной, и портировать - переносить. Во французском глагол портЭ значит носить, и транс-портировать = переносить. А вот в спорте с- часть корня. По крайней мере сейчас. Я попробовал забить в Гугл запрос на английском "sport etymology", раз это слово явно пришло из английского. Удивился, что автор вопроса, по мнению словарей этимологии прав. Спорт там (в частности, на etymology.com) названо сокрашением старинного английского слова disport, которое обозначало забавы, развлечения, увлечение и было заимствовано из старофранцузского. Оно отмечено с 1400 года. Во французском увлекаться, уноситься мыслями - деспортЭ, а французский взял латинскую приставку со значением у-, прочь, и уже знакомый корень порт- - нести, нестись, носиться: у-носиться (мечтами, например, в страну грез; увлекаться, отвлекаться). Так что, да, получается, что в итоге однокоренные, по мнению учёных.
