Вот ваше алгебраическое уравнение 2-й степени
х² – 2kx + 2k + 3 = 0 (1)
Надо найти корни этого уравнения. В общем случае алгебраическое уравнение второго порядка имеет вид
ах² + bx + c = 0 (2)
Сравнивая с (1) находим
а = 1, b = –2k, c = 2k + 3.
Пусть х1 и х2 – корни этого уравнения. Тогда уравнение (2) преобразуется к виду
(х – х1)(х – х2) = 0 (3)
На самом деле любое квадратное алгебраическое уравнение имеет 2 корня х1 и х2. Если уравнение имеет только 1 корень, то это значит, что 2 корня равны друг другу, то есть х1 = х2.
Корни уравнения (2) вычисляются по формуле
x = (–b ± √D)/2а (4)
где D – дискриминант, который вычисляется по формуле
D = b² – 4ac (5)
Корни будут одинаковы, если дискриминант D = 0. Вычисляем дискриминант (5). D = (–2k)² – 4∙1∙(2k + 3) = 4k² – 4(2k + 3) = 4(k² – 2k – 3) = 0. Теперь надо решить квадратное уравнение
k² – 2k – 3 = 0 (6)
Сравниваем (6) и (2). Имеем для уравнения (6) а = 1, b = –2, c = –3. По формулам (4) и (5) находим
D = b² – 4ac = 4 – 4∙1∙(–3) = 4 + 12 = 16. √D = 4. Из (4) имеем
k = (2 ± 4)/2. То есть k1 = 3 и k2 = –1.
Итак, ваше уравнение имеет только 1 корень (точнее 2 одинаковых корня) если
k1 = 3 и k2 = –1.
Проверка при желании. Ваше уравнение (1) при k1 = 3 приобретает вид х² – 6х + 9 = 0. По уравнению (5) находим дискриминант этого уравнения D = 0. То есть ваше уравнение при k = 3 действительно имеет 1 корень. При k2 = –1 (1) приобретает вид х² + 2х + 1 = 0. Дискриминант и этого уравнения тоже равен нулю. Просчитайте при желании. Ваше уравнение и при k2 = –1 имеет 1 корень (точнее 2 одинаковых корня). Можете найти при желании эти корни, но в задании этого нет.
