Поскольку число 131 простое, то справедливо следующее утверждение:
p^a (где p простое) имеет ровно a+1 делителей. Легко в этом убедится - все делители это p^i, где i пробегает значения от 0 до 131.
Таким образом, 131^131 имеет 132 делителя.
Всё очень просто. Для начала определим, сколько разрядов будет в нашем двоичном числе. Для этого берём исходное десятичное число 117 и определяем максимальную степень числа 2, при возведении в которую полученное число не превзойдёт число 117. Эта степень равна 6. Проверяем: 2^6=64<117, 2^7=128>117, т. е. этой степенью действительно будет число 6. Тогда количество разрядов в двоичном числе будет на единицу больше: 6+1=7. Первая цифра двоичной записи числа 117 — цифра 1. Далее вычитаем из 117 число 64. Получим: 117-64=53. Опять находим степень числа 2, при возведении в которую полученное число не превзойдёт число 53. Эта степень будет равна 5. Проверим: 2^5=32<53, 2^6=64>53. Значит, следующей цифрой в двоичной записи будет снова 1. Теперь вычтем из 53 число 32. Получим: 53-32=21. Опять найдём степень числа 2: 2^4=16<21, значит, следующим разрядом в двоичной записи будет снова 1. Вычтем из 21 число 16: 21-16=5. Степень двойки, при возведении в которую получим число, не превосходящее 5, равна 2: 2^2=4<5. Поскольку после степени двойки, равной 4, сразу идёт степень, равная 2, то следующим разрядом будет 0 (степень двойки, равная 3, пропускается), а за ним уже пойдёт 1. Далее снова произведём вычитание из 5 числа 4: 5-4=1. Степень двойки, при возведении в которую мы получим число, не превосходящее 1, равна 0: 2^0=1. Так как степень, равная 1, пропущена, то следующим разрядом в двоичной записи будет 0, а последним разрядом, соответственно, 1.
Запишем теперь полученное число в двоичной системе счисления:
117(10)=1110101(2).
Произведём проверку. Нужно умножить значение каждого разряда в двоичной записи на 2 в степени, равной номеру этого разряда минус 1, и полученные числа просуммировать: 1•2^6+1•2^5+1•2^4+0•<wbr />2^3+1•2^2+0•2^1+1•2^0<wbr />=64+32+16+4+1=117.
Первоначальное оканчивается на тройку. Значит, утроенное оканчивается на девятку. Новое будет на единицу больше, чем сколько-то-девять, значит, это сколько-то-десять, в конце ноль. Это вторая цифра первоначального. Отсюда вывод: это 103. Если переставить тройку вперёд, получится 310 = 103*3 + 1, всё верно.
Вы все правильно написали, только чисел из одинаковых цифр, не одно, а 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
И у всех сумма цифр, естественно, четная.
Но решение обеих задач
"Почему чисел с четной суммой цифр нечетное количество" и "Почему чисел с нечетной суммой цифр нечетное количество"
намного проще, чем вы расписываете.
Очевидно, что числа с четной и нечетной суммой цифр идут через одно.
Поэтому их одинаковое количество. А так как всего двузначных чисел ровно 90, то чисел каждого вида по 45.
Мы привыкли к тому что деление дает нам результат меньше делимого , однако это справедливо в случае если делитель больше единицы, если делитель меньше единицы, то в каждой единице делимого присутствует больше делителей и такм образом результат увеличивается. Иными словами , в конуретном примере в единице есть 4 раза по 0,25 , тогда действительно результат будет в 4 раза больше исходного числа и это можно отождествить с умножением на 4. Аналогично можно порообовать и с другими числами и чем меньше число на которое делится исходное тем выше будет результат
