Question

В четырехугольнике АВСD ∠А=∠D=〖60〗^0 и отношение сторон AB:BC:CD=1:√3:2. Найдите углы В и С.

Answer 1

Продлим стороны АВ и СД до пересечения.

Получим равносторонний треугольник АОД

Пусть его сторона равна а

Отрезки

АВ = 1

ВС = √3

СД = 2

Тогда в синем треугольнике ОВС по теореме косинусов

ВС² = ОВ² + ОС² - 2*ОВ*ОС*cos(60°)

3 = (a-1)² + (a-2)² - 2*(a-1)*(a-2)*1/2

3 = a²-2a+1 + a²-4a+4 - a²+3a-2

3 = a²-3a+3

a² - 3a = 0

a₁ = 0 - плохой корень, отбросим

a₂ = 3 - хороший корень :)

Т.е. стороны ΔОВС:

ОВ = 3-1 = 2

ОС = 3-2 = 1

ВС = √3

Треугольник прямоуголен:

2² = (√3)² + 1²

4 = 3 + 1

∠ВСО = 90°

∠ВСД = 180 - 90 = 90°

∠ОВС = 90 - 60 = 30°

∠АВС = 180 - 30 = 150°