Решение во вложении----------------------
<span>Пусть K – середина гипотенузы AB . Обозначим AK=KB=x , <ABC = α . Через точку D параллельной BC проведём прямую до пересечения с отрезком AB в точке P . Тогда </span>< APD = <ABC = α,
tg α=AC/BC=2BC/BC=2
tg α=AD/PD, PD=AD/tg α=2/2=1
AP=√(AD²+PD²)=√4+1=√5
<span>Треугольник </span>KPD <span>подобен треугольнику </span>KBF с коэффициентом PD/BF=1/3 <span>.
Поэтому PK/BK=1/3.
</span>PK=KB-(AB-AP)=x-2x+√5=√5-x
(√5-x)/x=1/3
3(√5-x)=x
4x=3√5
x=3√5/4
AB=2x=3√5/2<span>.
</span>Треугольник APD подобен треугольнику ABC с коэффициентомAP/AB=√5*2/3√5=2/3
<span>AD/AC=2/3, AC=3AD/2=3*2/2=3
PD/BC=2/3, BC=3PD/2=3*1/2=3/2=1.5
</span>
Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30*, то его гипотенуза в два раза больше противолежащего катета, и наоборот. Следовательно если мы построим прямоугольный треугольник гипотенуза которого будет в два раза больше катера, то его острый угол будет равен 30*.
1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон. k=ВС/В1С1 = 4/8 = 1/2.
Периметр Рa1b1c1 = 3+8+9 = 20см.
В подобных треугольниках периметры относятся как коэффициент подобия. Тогда Рabc = Рa1b1c1*k = 20/2 = 10 см.
2. Треугольник КСР подобен треугольнику АСВ по двум углам (<CKP=<CAB и <CPK=<CBA как соответственные углы при параллельных прямых КР и АВ и секущих АС и ВС соответственно. Из подобия: КС/АС = КР/АВ = 5/25 = 1/5.
Тогда КС = АС*(1/5) = 30/5 = 6 см. АК = АС - КС = 30-6 = 24 см.
3. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). То есть
АС/АВ = СК/КВ => AC = AB*CK/KB = 12*18/8 = 27см.
4. Сторона АС = AD+DC = 9+16 = 25 см.
BD - высота из прямого угла и по ее свойствам имеем:
АВ = √АС*AD = √(25*9) = 15см.
ВС = √АС*DС = √(25*16) = 20см.
Периметр треугольника АВС - сумма его трех сторон - равен 60см.