ABCD - квадрат, ∠BAD = ∠CDA = 90°, AB = CD = R = 8
Нужно найти площадь криволинейной фигуры AKD.
Так как окружности имеют одинаковый радиус 8, то фигура AKD симметрична относительно перпендикуляра KN⊥AD. Достаточно найти площадь криволинейной фигуры AKN, половинки AKD.
Площадь фигуры AKN равна площади сектора DAK минус площадь прямоугольного треугольника DNK
ΔAKD - равносторонний - AK = KD = AD = R = 8 ⇒ ∠ADK = 60°
Площадь сектора DAK:
![S_{cDAK} = \frac{ \pi R^2*60^o}{360^o} = \frac{ \pi *8^2}{6} = \frac{32 \pi }{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BcDAK%7D+%3D++%5Cfrac%7B+%5Cpi+R%5E2%2A60%5Eo%7D%7B360%5Eo%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%2A8%5E2%7D%7B6%7D+%3D+%5Cfrac%7B32+%5Cpi+%7D%7B3%7D+)
ΔDNK - прямоугольный: ∠ADK = 60°; DK=R=8; ND=R/2=4
![S_{DNK}= \frac{1}{2} DK*ND*sin60^o= \frac{1}{2} *8*4* \frac{ \sqrt{3} }{2} =8 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BDNK%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+DK%2AND%2Asin60%5Eo%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A8%2A4%2A+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+%3D8+%5Csqrt%7B3%7D+)
Площадь криволинейной фигуры AKN:
![S_{AKN}=S_{cDAK}-S_{DNK}= \frac{32 \pi }{3} -8 \sqrt{3}=8( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} ) \\ \\ S_{AKD}=2*S_{AKN}=16( \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3} )](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BAKN%7D%3DS_%7BcDAK%7D-S_%7BDNK%7D%3D+%5Cfrac%7B32+%5Cpi+%7D%7B3%7D+-8+%5Csqrt%7B3%7D%3D8%28+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+-+%5Csqrt%7B3%7D++%29++%5C%5C++%5C%5C+S_%7BAKD%7D%3D2%2AS_%7BAKN%7D%3D16%28+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+-+%5Csqrt%7B3%7D++%29)
Площадь закрашенной части равна S = 16(4π/3 - √3)
Если треугольники подобны, то их углы соответственно равны. Для начала нам нужно узнать, какие углы между собой равны, чтобы составить отношение. Итак. Угол ВСА=угол АСD как накрест лежащие, потому что ВС||AD. Значит, у нас есть по одному равному углу, и мы можем составить отношение площадей этих треугольников (площади треугольников, в которых есть по одному равному углу, относятся как произведение сторон, заключающих эти углы):
![\frac{S_{ABC}}{S_{ADC}} = \frac{BC*AC}{AC*AD} = \frac{BC}{AD} = \frac{8}{18}= \frac{4}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BS_%7BABC%7D%7D%7BS_%7BADC%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7BBC%2AAC%7D%7BAC%2AAD%7D+%3D+%5Cfrac%7BBC%7D%7BAD%7D+%3D+%5Cfrac%7B8%7D%7B18%7D%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D++)
Есть такое свойство: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Значит, коэффициент подобия этих треугольников:
![\sqrt{ \frac{4}{9} } = \frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+)
.
Теперь ищем другие равные углы. Угол ВАС не может быть равен углу АСD, потому что тогда АВ||СD, а такого быть не может, потому что боковые стороны трапеции по определению не параллельны, значит, угол ВАС= угол АDC, а угол АВС= угол ACD. Теперь мы можем составить отношение сторон, не забывая, что у нас есть коэффициент подобия:
![\frac{BC}{AC} = \frac{AB}{CD} = \frac{AC}{AD} = \frac{2}{3} =\ \textgreater \ \\\\ =\ \textgreater \ AC= \frac{3*BC}{2}= \frac{3*8}{2}=3*4=12](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BBC%7D%7BAC%7D+%3D+%5Cfrac%7BAB%7D%7BCD%7D+%3D+%5Cfrac%7BAC%7D%7BAD%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5C%5C%5C%5C%0A%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++AC%3D+%5Cfrac%7B3%2ABC%7D%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7B3%2A8%7D%7B2%7D%3D3%2A4%3D12++)
Ответ: АС=12.
Если не сработал графический редактор, то обновите страницу
А)Пусть угол ВОС-х, тогда угол АОВ-х+40. Так как эти углы смежный, то вместе они составляют 180 градусов. Составим уравнение
х+х+40=180
х+х=180-40
2х=140
х=70
угол ВОС=70 градусов
АОВ=180-70=110 градусов
Ответ: АОВ=110, ВОС=70
б)Пусть угол АОВ-х, тогда ВОС 4х. Так как эти углы смежные, то вместе они составляют 180 градусов. Составим уравнение
х+4х=180
5х=180
х=36
угол АОВ=36 градусов
ВОС=180-36=144 градус
Ответ:АОВ=36, ВОС=144
Точки Е и F принадлежат одной плоскости, EF - линия пересечения.Точки А и Е принадлежат одной плоскости, АE - линия пересечения.Продолжаем АЕ до пересечения с А1В1, получаем точку Р, принадлежащую и плоскости А1В1С1 и плоскости СС1В1В. Точка F также принадлежит СС1В1В. Соединим Р и F и на пересечении прямой PF и ребра А1С1 получим точку К.АЕFK - искомое сечение.
Ответ зависит от того, какие углы. Если углы вертикальные, то тогда угол 1= углу 3 а остальные равны 180-27=153 угол 2 и 4
если же параллелограмм, то накрест лежащие равны и тоже будет ответ как выше..наверно, еще есть какие-то другие способы, но я знаю только этот..
Подробнее - на Znanija.com -
znanija.com/task/730092#readmore